将 f(z) = z ²分解为实部和虚部

每个人都熟悉数学中方程的概念及其各种类型，例如 (x + p = q); (x × p = q)、(x ² = a) 等等。但是如果给定的方程是 x ² + 69 = 0，我们会做什么呢？如何解决这个问题？导出以下基本算术运算： x = $\sqrt{-69}$ .这甚至可能吗？是的，有了复数的概念，像这样的方程可以用可行的解决方案来解决。

复数

复数是由实部和虚部组成的数字，可以用 z = a + ib 的形式表示，其中 i (iota) = √(-1)，a 和 b 分别代表实部和虚部.例如，69 + 420i 是一个复数，其中 69 是实数，420i 是它的虚数部分。

识别实部和虚部

简单来说，复数中没有iota(i)的部分称为实部，有iota的部分称为虚部。这就是复数采用的情况，这些复数已经是矩形/标准形式。如果给出二次、三次或其他表达式，则应首先对其求值，然后确定实部和虚部。

例如，(1 + i) ²需要首先使用恒等式 (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²展开，然后分解为实部和虚部。

将 f(z) = z ²分解为其实部和虚部。

解决方案：

Given: w = f(z) = z²

Let z = x + iy, as per the standard form of a complex number.

⇒ z² = (x + iy)² = x² + 2(x)(iy) + (iy)²

= x² – y² + i(2xy)

Hence, the real part is x² – y² and the imaginary part is 2xy.

类似问题

问题 1：求 (1 + i) ²的实部和虚部。

解决方案：

(1 + i)2 = 1² + i² + 2i 

= 1 – 1 + 2i

= 2i

Thus, (1 + i)² has no real part and the imaginary part is 2.

问题 2：求 (1 – i) ²的实部和虚部。

解决方案：

(1 – i)² = 1² + i² – 2i 

= 1 – 1 – 2i

= -2i

The real part of (1 – i)² is 0 and the imaginary part is -2i.

问题 3：求 (3 + 2i) ²的实部和虚部。

解决方案：

(3 + 2i)² = 3² + 2(2i)(3) + (2i)²

= 9 + 4(-1) + 12i

= 5 + 12i

Thus, real part is 5 and the imaginary part is 12.

问题 4：求 (12 + 6i) ²的实部和虚部。

解决方案：

(12 + 6i)² = 12² + 2(12)(6i) + (6i)²

= 144 + 36(-1) + 144i

= 108 + 144i

Thus, real part is 108 and the imaginary part is 144.

问题 5：求 (10 + 10i) ²的实部和虚部。

解决方案：

(10 + 10i)² = 10² + 2(10)(10i) + (10i)²

= 100 + 200(-1) + 100i

= -100 + 100i

Thus, real part is -100 and the imaginary part is 100.