查找给定点集的简单闭合路径

在计算机科学领域，查找给定点集的简单闭合路径是一种经典的问题。它在计算几何、图形学、自动化等领域都有广泛的应用。本文将介绍其中一种最基本的算法：基于深度优先搜索的暴力枚举算法。

问题描述

设一个有限的点集 $S$，其中每个点的坐标都是整数 $(x_i,y_i)$。现在要求从 $S$ 中产生一个简单的闭合路径 $\gamma$，使得 $\gamma$ 经过 $S$ 中的所有点，且不重复经过路径上的任何点。图形化表示如下：

算法设计

Step 1：生成所有可能的简单路径

我们可以通过穷举法来生成所有可能的简单路径。对于一个点集 $S$，第一步是要找出其中任意两个点之间的所有路径，即所有可能的简单路径。这些路径可以通过计算任意两个点之间的距离，并基于距离构建一棵树来生成。具体操作可用下面的伪代码来实现：

# 生成简单路径
def generate_simple_paths(points: list) -> set:
    simple_paths = set()
    for start in points:
        for destination in points:
            if start != destination:
                distance = calculate_distance(start, destination)
                # 如果距离小于阈值，认为两点之间有边
                if distance < THRESHOLD:
                    path = tuple(sorted((start, destination)))
                    simple_paths.add(path)
    return simple_paths

在上述伪代码中，我们使用了一个名为 calculate_distance 的函数来计算两个点之间的距离。当然，具体的距离计算方法可以根据实际情况而定。

Step 2：利用深度优先搜索算法遍历所有路径

接下来，我们要用深度优先搜索算法来遍历所有可能通过点集的简单路径。所谓深度优先搜索算法，就是从起点开始沿着一条路径尽可能深入，直到没有未访问节点为止，然后回溯到前一个节点，继续沿另一条路径搜索。

我们可以通过递归调用深度优先搜索算法来遍历所有路径。具体操作可用下面的伪代码来实现：

# 判断路径是否是简单路径
def is_simple_path(path: list) -> bool:
    # 判断路径是否包含重复的点
    return len(path) == len(set(path))

# 通过深度优先搜索遍历所有路径
def dfs(graph: dict, path: list, visited: set, start: tuple) -> list:
    # 如果路径中包含重复的点，返回 None
    if not is_simple_path(path):
        return None
    # 如果当前节点已经被访问过，返回 None
    if start in visited:
        return None
    # 如果已经遍历完所有的点，并且当前节点可以回到起点，说明找到了一条简单路径
    if len(visited) == len(graph) and start == path[0]:
        return path
    # 递归调用 dfs 函数遍历所有路径
    for neighbor in graph[start]:
        if neighbor not in visited:
            visited.add(neighbor)
            path.append(neighbor)
            result = dfs(graph, path, visited, neighbor)
            if result is not None:
                return result
            visited.remove(neighbor)
            path.pop()
    return None

在上述伪代码中，我们使用了一个名为 is_simple_path 的函数来判断路径是否是简单路径。具体地，如果路径中包含重复的点，则认为不是简单路径；否则认为是简单路径。

Step 3：构建图，并调用深度优先搜索算法遍历所有路径

最后，我们要将简单路径转化为图，并调用深度优先搜索算法来遍历所有可能通过点集的简单路径。具体操作可用下面的伪代码来实现：

# 将简单路径转化为图
def convert_paths_to_graph(simple_paths: set) -> dict:
    graph = {}
    for path in simple_paths:
        start, end = path
        if start not in graph:
            graph[start] = {end}
        else:
            graph[start].add(end)
        if end not in graph:
            graph[end] = {start}
        else:
            graph[end].add(start)
    return graph

# 查找所有简单闭合路径
def find_simple_closed_paths(points: list) -> list:
    simple_paths = generate_simple_paths(points)
    graph = convert_paths_to_graph(simple_paths)
    all_paths = []
    for start in graph.keys():
        visited = {start}
        path = [start]
        result = dfs(graph, path, visited, start)
        if result is not None:
            all_paths.append(result)
    return all_paths

在上述伪代码中，我们使用了一个名为 convert_paths_to_graph 的函数来将简单路径转化为图。具体地，我们先定义一个字典 graph，然后对于每一条简单路径的起点和终点，我们都在 graph 中添加一条双向边。

总结

本文介绍了如何使用基于深度优先搜索的暴力枚举算法来查找给定点集的简单闭合路径。具体地，我们先使用穷举法生成所有可能的简单路径，然后将简单路径转化为图，并调用深度优先搜索算法遍历所有可能通过点集的简单路径。虽然本算法的时间复杂度较高，但它是一种比较容易理解、实现、Debug 的算法。如果对效率有更高的要求，则可以根据实际情况而定，选择其他更加高效的算法。