第 11 类 RD Sharma 解决方案 - 第 26 章椭圆 - 练习 26.1 |设置 1

简介

RD Sharma 是印度著名的教育工作者和数学家，他的数学教材被广泛使用，对学生们的数学学习起到了很大的帮助。

本文介绍了 RD Sharma 数学教材中第 11 类 - 椭圆，第 26 章，练习 26.1，设置 1 的解决方案。该练习关注于椭圆中离心率和焦距的关系。

题目

一个椭圆的焦距之和为 18，离心率为 1/2。找到这个椭圆的方程式。

解决方案

让我们记这个椭圆的焦距为 2c，离心率为 e，长轴为 2a，短轴为 2b，中心为 (h, k)。根据椭圆的定义，我们有下面两个方程式：

1. c = √(a^2 - b^2)
2. e = c/a

因此，我们现在可以使用这些方程式来解决这个问题。将焦距之和转换为两个焦距，我们得到如下方程式：

2c = 18 c = 9

现在，我们可以使用方程式 1 来求解 a 和 b，其中 a^2 和 b^2 由下面的方程式组成：

a^2 + b^2 = h^2 + k^2 a/b = 1/e = 2

由此，我们可以将 b 表示为 a/2e，然后使用这个公式将 b 插入到 a^2 + b^2 = h^2 + k^2，得到这个椭圆的方程式：

a^2 + (a/2e)^2 = h^2 + k^2

化简这个式子，我们得到：

a^2 = e^2(h^2 + k^2)

现在，我们可以将 2c = 18 和 c = 9 插入到这个式子中，得到：

81 = e^2(h^2 + k^2)

由此，我们可以将 h^2 + k^2 表示为 81/e^2，然后将它插入到 a^2 + b^2 = h^2 + k^2 中，得到：

a^2 + (a/2e)^2 = 81/e^2

化简这个式子，我们得到：

5a^2 = 324/e^2

现在，我们可以将 e 插入到这个式子中，得到：

5a^2 = 1296

因此，

a^2 = 259.2 a ≈ 16.0935 b = a/2e = 8.6400

现在，我们可以使用上面的 a 和 b 带入中心点的方程式 a^2 + b^2 = h^2 + k^2 中，得到：

259.2 + 74.53 = h^2 + k^2

化简这个方程式，我们得到：

h^2 + k^2 = 333.73

因此，我们可以得出这个椭圆的方程式：

( x - 0 )^2 / ( 259.2 ) + ( y - 0 )^2 / ( 74.53 ) = 1

这就是这个椭圆的方程式。

结论

本文介绍了 RD Sharma 数学教材中第 11 类 - 椭圆，第 26 章，练习 26.1，设置 1 的解决方案。我们展示了如何从椭圆的焦距和离心率推导椭圆的方程式，以解决这个问题。