树上的扩展不相交集并集

简介

树上的扩展不相交集并集，简称树链剖分，是一种常用的算法。它的主要作用是在树上维护非常常见而且有用的数据结构。

通过树链剖分，我们可以高效地求解树上路径的一些常规问题，例如树上两点之间的路径和、路径最大值、路径最小值、路径最长连续上升子序列等问题。

如果你熟悉数据结构中的并查集，那么树链剖分也是一种类似的数据结构，其主要区别在于树的结构。

接下来我们将着重介绍树链剖分的实现过程和一些相关的算法应用。

实现

对于一棵树，我们需要对其进行分解，将每个节点所在的路径以链的形式存储下来。这样，对于每个节点可通过其所在链上的节点进行访问和修改。

基本的树链剖分实现包括以下几个步骤：

1. 选择某个节点为根节点
2. 对于每个节点 v，计算子树大小和以 v 为根的子树中深度最大的节点。
3. 按照子树大小从大到小给每个节点编号（注意相同大小按 DFS 序号排序）
4. 对于每个节点，计算其所在链的编号，以及其在链上的位置。

这样，我们就可以以基于链的方式维护树上的各种算法问题了。

应用

树链剖分在树形 DP、最近公共祖先（LCA）、区间修改和查询（线段树）等算法上都有广泛的应用。

在树形 DP 中，我们可以通过把一个节点拆分成 LCA 和祖先两个节点来转化问题，从而使用树链剖分进行快速求解。

在区间修改和查询中，我们可以通过维护每段连续的区间上的信息，用树链剖分快速处理 Modify 和 Query 操作。

总结

这里我们介绍了树链剖分，这是一种常见且有用的算法，用于在树上维护一些特定的数据结构。通过树链剖分，我们可以高效地求解树上路径的一些常规问题。

希望这篇介绍可以帮助大家更好地理解和掌握树链剖分的实现和应用。