在数组中查找 (x, y) 对的数量，使得 x^y > y^x | 2套

介绍

给定两个长度为 n 的非空数组 X[] 和 Y[]，用它们中的元素组成 (x, y) 对。查找这样的 (x, y) 对的数量，使得 x^y > y^x，其中 ^ 表示异或运算。

思路

为了使 $x^y > y^x$ 成立，即 $x^y - y^x > 0$，可以对每对 $(x, y)$ 计算 $x^y - y^x$ 并判断其是否大于 0。

但是这种方法的时间复杂度为 $O(n^2)$，因此需要优化。考虑到数组 X 和 Y 都是非空且元素互不相同的，可以对 X 和 Y 分别进行排序，然后使用双指针的方法对它们进行比较。

具体地，对于 X[j]，找到数组 Y 中满足 Y[k] > X[j]^X[i] 的第一个位置 k，然后第 j 个位置的左侧位置组成的所有 (i, j) 对都可以满足条件，因为 X[j] 右侧位置的元素 X[i] 都比 X[j] 小，因此满足 $X[j]^X[i] < X[j]$，而 $Y[k] > X[j]$，因此满足 $X[j]^X[i] < Y[k]$。此时，可以将 k 右移一位，继续找到下一个位置满足条件的位置。

时间复杂度为 $O(n\log n)$，因为需要对数组进行排序。

代码

def count_pairs(X, Y):
    """
    Count the number of (x, y) pairs that satisfy x^y > y^x.
    Args:
        X: List[int], the first array.
        Y: List[int], the second array.
    Returns:
        int, the count of satisfying pairs.
    """
    # Sort X and Y in reverse order.
    X.sort(reverse=True)
    Y.sort(reverse=True)
    n = len(X)
    m = len(Y)
    j = 0
    count = 0
    for i in range(n):
        while j < m and Y[j] > X[i] ** X[0]:
            j += 1
        count += m - j
    return count

测试

X = [2, 1, 6]
Y = [1, 5]
assert count_pairs(X, Y) == 5

结论

双指针算法可以在 $O(n\log n)$ 时间内解决该问题。同样，使用双指针也可以解决一系列关于排序数组中对的问题。