求第N个居中的三边形数字的总和

在数学中，三角形数字是一系列自然数的和，每一项为自然数的行数，从上到下逐行递增。而居中的三边形数字是指位于每行的中央位置的数字，这些数字构成了一个新的数列。

例如，下面是前5行的三角形数字和居中的三边形数字：

1
1  2
2  3  4
4  5  6  7
7  8  9  10 11

1
2
3
5
8

其中，第5个居中的三边形数字是8。

现在，我们需要编写一个函数，输入一个整数N，返回前N行的居中的三边形数字的总和。下面是函数的详细要求：

函数签名

def triangle_numbers(n:int) -> int:
    pass

参数说明

• n：输入的整数N，表示计算的行数，N > 0。

返回值说明

• 返回前N行的居中的三边形数字的总和。

示例

assert triangle_numbers(5) == 18

实现思路

我们可以先定义一个嵌套的for循环，逐行计算三角形数字，并在计算过程中累加每行的中央位置的数字。下面是函数的实现代码：

def triangle_numbers(n:int) -> int:
    total_sum = 0
    current_num = 1
    for i in range(1, n+1):
        row_sum = 0
        for j in range(1, i+1):
            row_sum += current_num
            current_num += 1
        total_sum += row_sum - (row_sum//2)
    return total_sum

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，需要两层嵌套的for循环。
• 空间复杂度：$O(1)$，只需要几个变量来保存统计结果。