查找具有最大XOR的子矩阵

简介

本篇介绍如何在矩阵中查找具有最大XOR值的子矩阵，其中XOR是指按位异或运算。给定矩阵中的元素必须为非负整数。

解法

首先，我们可以将问题转化为在一维数组中查找具有最大XOR值的子序列。具体方法如下：

1. 将矩阵中每一行的元素看作一个二进制数，然后将每行的二进制数依次存入数组中。
2. 对于数组中的任意子序列，我们可以将它们进行异或运算，然后找出最大值即可。

接下来考虑如何快速找出具有最大XOR值的子序列。这里采用了Trie树的思想，具体步骤如下：

1. 将所有数（包括从0到最大值）的二进制表示按位插入到Trie树中。
2. 从高位到低位，按位贪心地选择当前数的相反数能够得到的最大值（即相反数的子节点）。
3. 依次将所有数插入到Trie树中，同时记录当前的最大值，并按照最大值的二进制表示输出结果。

最后，我们将矩阵中每一行的二进制数依次插入Trie树中，并不断更新最大值，最终得到具有最大XOR值的子矩阵。

代码片段

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.children = [None, None]
        
class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode()
        
    def insert(self, num):
        node = self.root
        for i in range(30, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if not node.children[bit]:
                node.children[bit] = TrieNode()
            node = node.children[bit]
            
    def query(self, num):
        node, ans = self.root, 0
        for i in range(30, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if node.children[bit ^ 1]:
                ans += 1 << i
                node = node.children[bit ^ 1]
            else:
                node = node.children[bit]
        return ans

def max_xor_submatrix(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    prefix_xor = [[0] * (n + 1) for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            prefix_xor[i][j+1] = prefix_xor[i][j] ^ matrix[i][j]
            
    res = float('-inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            num_set = set([0])
            trie = Trie()
            for k in range(m):
                num = prefix_xor[k][j+1] ^ prefix_xor[k][i]
                ans = trie.query(num)
                res = max(res, ans)
                trie.insert(num)
    
    return res

上述代码中，Trie树的时间复杂度为$O(n\log{M})$，其中$M$为数组中的最大值。因此，总时间复杂度为$O(n^2 m\log{M})$。