布置人员的方式数目

这个问题可以分成两个子问题，分别是桌子两边的人员布置和对面人员的布置。

桌子两边的人员布置

假设桌子有2N个人，我们需要把他们分成两组，每组有N个人。为了方便，我们可以把人员编号从1到2N。那么，我们可以用以下方式来进行布置：

1. 选出N个人，让他们坐在桌子的左边，其他N个人坐在桌子的右边。这个方案的数量是组合数：C(2N,N)。

2. 从左边的人中选出X个人，从右边的人中选出Y个人，并且X + Y = N。这个方案的数量是C(N,X) * C(N,Y)。

3. 列举所有可能的X值，从0到N。对于每个X，Y = N - X。将方案2中的方案数相加即可得到最终的方案数。

对面人员的布置

假设桌子的两端是A和B，每个人要么是坐在A的一侧，要么是坐在B的一侧。为了方便起见，我们假设A的一侧有X个人，B的一侧有Y个人，同时X + Y = 2N。

1. 假设有一个人P坐在A的一侧，我们需要选择一个人Q坐在B的一侧，让P和Q对面。那么，有X种选择P的方法，有Y种选择Q的方法，因此有X * Y种方法使得P和Q对面。

2. 对于桌子上的每个人，如果他在A的一侧，那么必须有对应的人在B的一侧，且这些人必须两两对应而且对面。因此，我们需要计算这样的对应关系的数量。假设有N个人在A的一侧，N个人在B的一侧。那么，在A的一侧任选一个人，有N种选择方法，而在B的一侧和这个人对应的选择只有一种。因此，对应关系的数量是N。

3. 从两侧的人中选出X和Y个人，使得他们对面。假设A的一侧有P个人，B的一侧有Q个人，那么方案数量是C(P,X) * C(Q,Y)。

4. 列举所有可能的X值，从0到N。对于每个X，Y = N - X。将方案3的方案数相加即可得到最终的方案数。

综合以上两个子问题的结果，我们得到最终的方案数：$\sum_{i=0}^{N} C(N,i) * C(N,N-i) * \sum_{j=0}^{N} C(N,j) * C(N,N-j) * j * (2N-j)$。

代码片段：

def num_ways(N, X, Y):
    # 计算桌子两边的人员布置
    num_ways_left_and_right = math.comb(2*N, N)
    num_ways_X_Y = sum(math.comb(N, i) * math.comb(N, N-i) for i in range(X+1))
    num_ways_left_X_right_Y = num_ways_X_Y * num_ways_left_and_right
    # 计算对面人员的布置
    num_ways_A_B = 0
    for i in range(N+1):
        num_ways_A_i = math.comb(N, i)
        num_ways_B_Nminusi = math.comb(N, N-i)
        num_ways_A_B_i = num_ways_A_i * num_ways_B_Nminusi
        num_ways_A_B += num_ways_A_B_i
    num_ways_A_left_X_B_right_Y = sum(math.comb(X, i) * math.comb(Y, Y-i) for i in range(X+1))
    num_ways_total = num_ways_left_X_right_Y * num_ways_A_left_X_B_right_Y * num_ways_A_B
    return num_ways_total