检查是否最多可以通过N²个给定操作从树的节点访问每个节点

介绍

在树结构中，我们可能需要通过一些操作从一个节点访问另一个节点。有些时候，我们需要最多使用N²次操作来访问每个节点。这是一个很有意思的问题，可以用各种算法来解决。

解法

暴力法

最简单的想法就是暴力枚举。我们可以从每个节点出发，遍历整个树，将所有能到达的节点标记为已访问，直到所有节点都被标记过。由于需要遍历整个树N次，时间复杂度为O(N²)。

def dfs(root, visited):
    visited[root] = True
    for child in root.children:
        dfs(child, visited)

def check_n_2(root):
    visited = [False] * N
    for i in range(N):
        dfs(root, visited)
    return all(visited)

优化暴力法

但是，这种做法的时间复杂度较高，所以我们需要对其进行优化。由于访问到的节点已经被标记为已访问，所以每次遍历子节点时我们只需要遍历从当前节点能够到达的未访问过的节点即可。这种优化可以将时间复杂度降到O(N log N)。

def dfs(root, visited):
    visited[root] = True
    for child in root.children:
        if not visited[child]:
            dfs(child, visited)

def check_n_2(root):
    visited = [False] * N
    for i in range(N):
        dfs(root, visited)
    return all(visited)

最优解

最后，实际上还有一种时间复杂度更优秀的做法，可以将其优化到O(N)。我们可以在对每个节点进行遍历时，记录下子节点到达的最深深度d_i，也就是说，从该节点往下至少需要用d_i次操作才能达到每一个子节点。我们可以将所有子节点的深度按从大到小排序，对于每个节点，只需要遍历前i个深度的子节点，就能够覆盖到所有的节点，其中i为该节点对应的最大深度。此时，N²的上限也就不再需要使用。

def dfs(root):
    ans = [0] * len(root.children)
    for i, child in enumerate(root.children):
        ans[i] = dfs(child) + 1
    ans.sort(reverse=True)
    for i in range(len(ans)):
        ans[i] += i
    return max(ans)

def check_n_2(root):
    return dfs(root) <= N

这种做法的核心思想就是贪心，优先访问子节点到达最深的节点，这样可以最小化需要的操作次数。

总结

树的遍历是一个非常基本的问题，但是它的应用非常广泛。在解决树的遍历问题时，有很多优化的方法。在此介绍的三种方法中，暴力和优化暴力的时间复杂度太大，只是说明最基本的思路，最优解才是最实用的做法。而最优解的核心思想也可以应用到其他树结构相关的问题中。