在 nim-game 中找到赢家

给定一个包含 n 个元素的数组 A[]。有两个玩家 Alice 和 Bob。玩家可以从数组中选择任何元素并将其删除。如果移除所选元素后所有剩余元素的按位异或等于 0，则该玩家输了。这个问题是 nim-game 的变体。
注：每个玩家轮流玩游戏。如果两个玩家都发挥最佳，找出获胜者。爱丽丝首先开始游戏。如果数组中有一个元素，则将其值视为数组的 XOR。
例子 ：

Input : A[] = {3, 3, 2} 
Output : Winner = Bob 
Explanation : Alice can select 2 and remove it that make XOR of array equals to zero also if Alice choose 3 to remove than Bob can choose any of 2/3 and finally Alice have to make his steps.
Input : A[] = {3, 3} 
Output : Winner = Alice 
Explanation : As XOR of array is already zero Alice can’t select any element to remove and hence Alice is winner. 
 

让我们一步一步开始解决。我们总共有三个选项用于数组和这个游戏的异或。

1. 数组的 XOR 已经为 0：在这种情况下，Alice 将无法移动，因此 Alice 是赢家。
2. 数组的异或不为零：现在，在这种情况下，我们有两个选择，数组的大小要么是奇数，要么是偶数。
   • 情况 A：如果数组大小为奇数，那么 Bob 肯定会赢得比赛。
   • 情况 B：如果数组大小为偶数，那么 Alice 将赢得比赛。

上述结论可以借助数学归纳法得到证明。
让 A[] = {1} 即数组的大小为奇数且数组的 XOR 非零：在这种情况下，Alice 可以选择元素 1，然后 A[] 将变为空，因此数组的 XOR 可以被视为零。结果鲍勃成为赢家。
令数组大小为偶数且数组的异或非零。现在我们可以证明 Alice 总能找到一个要移除的元素，使得数组中剩余元素的 XOR 非零。
为了证明这一点，让我们从矛盾开始，即假设您应该选择剩余数组的 XOR 的任何元素必须为零。
所以，让 A1 Xor A2 Xor … An = X 并且 n 是偶数。
根据我们的矛盾假设，对于 1<= i <= n，Ai Xor X = 0。
计算所有X Xor Ai(即n个方程)的XOR，
在对所有 n 个方程进行 XOR 之后，我们有 X Xor X…Xor X (n-times) = 0 因为 N 是偶数。
现在，我们也有 A1 Xor A2 Xor.. An = 0 但我们知道 A1 Xor A2…Xor = X。这意味着我们在偶数大小的数组中至少有一个元素，这样在将其删除后，非-零。
令数组的大小为偶数且数组的异或非零。 Alice 不能移除元素 Ai 使得剩余数字的异或为零，因为这将使 Bob 获胜。现在，采取另一种情况，当剩余的 N?1 数的异或非零时。我们知道 N?1 是偶数，并且从归纳假设，我们可以说当前移动之后的位置将是 Bob 的获胜位置。因此，对于爱丽丝来说，这是一个失败的位置。

int res = 0;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
    res ^= a[i];
}

if (res == 0)
    return "ALice";
if (N%2 == 0)
    return "Alice";
else
    return "Bob";

C++

// CPP to find nim-game winner
#include 
using namespace std;
 
// function to find winner of NIM-game
string findWinner(int A[], int n)
{
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        res ^= A[i];
 
    // case when Alice is winner
    if (res == 0 || n % 2 == 0)
        return "Alice";
 
    // when Bob is winner
    else
        return "Bob";
}
 
// driver program
int main()
{
    int A[] = { 1, 4, 3, 5 };
    int n = siseof(A) / sizeof(A[0]);
    cout << "Winner = " << findWinner(A, n);
    return 0;
}

Java

// Java to find nim-game winner
class GFG {
     
    // function to find winner of NIM-game
    static String findWinner(int A[], int n)
    {
        int res = 0;
         
        for (int i = 0; i < n; i++)
            res ^= A[i];
     
        // case when Alice is winner
        if (res == 0 || n % 2 == 0)
            return "Alice";
     
        // when Bob is winner
        else
            return "Bob";
    }
     
    //Driver code
    public static void main (String[] args)
    {
        int A[] = { 1, 4, 3, 5 };
        int n =A.length;
         
        System.out.print("Winner = "
                    + findWinner(A, n));
    }
}
 
// This code is contributed by Anant Agarwal.

Python3

# Python3 program to find nim-game winner
 
# Function to find winner of NIM-game
def findWinner(A, n):
 
    res = 0
    for i in range(n):
        res ^= A[i]
 
    # case when Alice is winner
    if (res == 0 or n % 2 == 0):
        return "Alice"
 
    # when Bob is winner
    else:
        return "Bob"
 
# Driver code
A = [ 1, 4, 3, 5 ]
n = len(A)
print("Winner = ", findWinner(A, n))
 
# This code is contributed by Anant Agarwal.

C#

// C# to find nim-game winner
using System;
 
class GFG {
     
    // function to find winner of NIM-game
    static String findWinner(int []A, int n)
    {
        int res = 0;
         
        for (int i = 0; i < n; i++)
            res ^= A[i];
     
        // case when Alice is winner
        if (res == 0 || n % 2 == 0)
            return "Alice";
     
        // when Bob is winner
        else
            return "Bob";
    }
     
    //Driver code
    public static void Main ()
    {
        int []A = { 1, 4, 3, 5 };
        int n =A.Length;
         
        Console.WriteLine("Winner = "
                    + findWinner(A, n));
    }
}
 
// This code is contributed by vt_m.

Javascript

 
// JavaScript program to find nim-game winner
 
    // function to find winner of NIM-game
    function findWinner(A, n)
    {
        let res = 0;
           
        for (let i = 0; i < n; i++)
            res ^= A[i];
       
        // case when Alice is winner
        if (res == 0 || n % 2 == 0)
            return "Alice";
       
        // when Bob is winner
        else
            return "Bob";
    }
 
 
// Driver Code
 
        let A = [ 1, 4, 3, 5 ];
        let n = A.length;
           
        document.write("Winner = "
                    + findWinner(A, n));
   

输出 ：

Winner = Alice

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