数学 |概率更新过程

更新过程是泊松过程的一般情况，其中过程的到达间隔时间或故障间隔时间不一定遵循指数分布。如果故障之间的时间是独立同分布的随机变量，则表示事件在时间间隔 (0, t] 内发生的总次数的计数过程 N(t) 称为更新过程。

在时间 t 前恰好发生 n 次故障的概率可以写为，
$$ P\{N(t) = n\} = P\{N(t)\geq n\}-P\{N(t) > n \}$
和，
$$T_k=W_k + W_{k-1} $$

请注意，故障之间的时间为 T1、T2、……、Tn，因此故障发生在时间$$W_k$$是，
$$W_k=\sum_{i=1}^kT_i$$
因此，
$$ P\{N(t) = n\}$$
$$= P\{N(t) \geq n\}-P\{N(t)>n\} $$
$$= P\{W_n \leq t\}-P\{W_{n+1} \leq t\} $$
$$= F_n(t)-F_{n+1}(t) $$

特性 –

1. 更新过程的均值函数，用m(t)表示，等于所有更新次数的分布函数之和，即，
   $$ m(t)$$
   $$= E[N(t)] $$
   $$ = \sum_{n=1}^{\infty}F_n(t) $$
2. 更新函数m(t) 满足以下等式：
   $$ m(t)$$
   $$ = F_a(t)+\int_{0}^{t}m(t-s)dF_a(s) $$
   在哪里$F_a(t)$是到达间隔时间或更新周期的分布函数。