计算机图形学– 3D中的反射变换

3D空间中的反射与2D空间中的反射非常相似，但是3D中存在一个差异，这里我们必须处理三个轴(x，y，z)。反射不过是对象的镜像。

在3D空间中可能发生三种反射：

• 沿XY平面反射。
• 沿YZ平面反射。
• 沿XZ平面反射。

1.沿XY平面的反射：如下图所示–

沿xy平面反射

反射变换矩阵用于对3D图像执行反射操作，如下所示：

$\hspace{4.5cm} \Large R_{xy} =\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]$

考虑，在反射P [x，y，z]变为P′[x′，y′，z′]之后，使在3D空间中的点P [x，y，z]沿XY方向反射。

$\hspace{4.5cm} \Large P'[x\,\,y\,\,z\,\,1]=P[x\,\,y\,\,z\,\,1].R_{xy}$

2.沿YZ平面的反射：这是 下图所示–

沿YZ平面反射

yz轴的反射变换矩阵如下：

$\hspace{4.5cm} \Large R_{yz} =\left[\begin{matrix}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]$

考虑，在反射P [x，y，z]变为P′[x′，y′，z′]之后，使3D空间中的点P [x，y，z]沿YZ方向反射。

$\hspace{4.5cm} \Large P'[x\,\,y\,\,z\,\,1]=P[x\,\,y\,\,z\,\,1].R_{yz}$

3.沿XZ平面的反射：如下图所示–

沿XZ平面的反射：

zx轴的反射变换矩阵如下：

$\hspace{4.5cm} \Large R_{zx} =\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]$

考虑，使在3D空间中的点P [x，y，z]沿着ZX方向反射，在反射P [x，y，z]变成P'[x’，y’，z’]之后。

$\hspace{4.5cm} \Large P'[x\,\,y\,\,z\,\,1]=P[x\,\,y\,\,z\,\,1].R_{zx}$

考虑下面给出的立方体“ OABCDEFG”，沿YZ平面对其执行反射变换。

给定的多维数据集如下：

图。1

因此，沿YZ轴的反射变换的矩阵表示条件为：

$\hspace{4.5cm} \Large R_{yz} =\left[\begin{matrix}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]$

执行反射变换后，点O [0 0 0]变为O’：
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large O'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]} \\ \hspace{6.68cm}\Large \mathbf{=[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]}\\ \hspace{4.37cm}\mathbf{O'[x ,y ,z]=[0 ,0 ,0]}$

执行反射变换后，点A [0 4 0]变为A’：
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large A'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm}\Large\mathbf{=[0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]}\\ \hspace{4.37cm}\Large\mathbf{A'[x ,y ,z]=[0 ,4 ,0]}$

执行反射变换后，点B [0 4 4]变为B’：
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large B'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm}\Large\mathbf{=[0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]} \newline \hspace{4.37cm}\Large\mathbf{B'[x ,y ,z]=[0 ,4 ,4]}$

执行反射变换后，点C [-4 4 0]变为C’：
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large C'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm} \Large \mathbf{=[-4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]}\\ \newline \hspace{4.37cm}\Large\mathbf{C'[x ,y ,z]=[-4 ,4 ,0]}$

执行反射变换后，点D [4 4 4]变为D’：
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large D'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm}\Large \mathbf{=[-4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]}\\ \hspace{4.37cm}\Large\mathbf{D'[x ,y ,z]=[-4 ,4 ,4]}$

执行反射变换后，点E [4 0 0]变为E’：
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large E'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm} \Large\mathbf{=[-4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]}\\ \hspace{4.37cm}\mathbf{E'[x ,y ,z]=[-4 ,0 ,0]}$

执行反射变换后，点F [0 0 4]变为F’：
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large F'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm}\Large \mathbf{=[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]}\\ \hspace{4.37cm}\mathbf{F'[x ,y ,z]=[0 ,0 ,4]}$

执行反射变换后，点G [4 0 4]变为G’：
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large G'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm}\Large \mathbf{=[-4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]}\\ \newline \hspace{4.37cm}\mathbf{G'[x ,y ,z]=[-4 ,0 ,4]}$

在对上图(图1)执行反射变换后，将看起来像：

反射的3D图像