IEEE标准754浮点数

IEEE浮点算术标准(IEEE 754)是浮点计算的技术标准，由电气和电子工程师协会(IEEE)于1985年建立。该标准解决了在各种浮点实现中发现的许多问题，这些问题使它们难以可靠使用并降低了可移植性。 IEEE标准754浮点数是当今计算机上实数最常见的表示形式，包括基于Intel的PC，Mac和大多数Unix平台。

有几种表示浮点数的方法，但是IEEE 754在大多数情况下是最有效的。 IEEE 754具有3个基本组件：

1. 尾数的标志–
   这和名称一样简单。 0代表正数，而1代表负数。
2. 偏差指数–
   指数字段需要代表正指数和负指数。为了获得存储的指数，将偏差添加到实际指数。
3. 标准化尾数–
   尾数是科学计数法数字或浮点数的一部分，由有效数字组成。在这里，我们只有2个数字，即O和1。因此，规范化的尾数是一个只有小数点左侧为1的尾数。

IEEE 754数字根据上述三个组成部分分为两个：单精度和双精度。

TYPES	SIGN	BIASED EXPONENT	NORMALISED MANTISA	BIAS
Single precision	1(31st bit)	8(30-23)	23(22-0)	127
Double precision	1(63rd bit)	11(62-52)	52(51-0)	1023

例子 –

85.125
85 = 1010101
0.125 = 001
85.125 = 1010101.001
       =1.010101001 x 2^6 
sign = 0 

1. Single precision:
biased exponent 127+6=133
133 = 10000101
Normalised mantisa = 010101001
we will add 0's to complete the 23 bits

The IEEE 754 Single precision is:
= 0 10000101 01010100100000000000000
This can be written in hexadecimal form 42AA4000

2. Double precision:
biased exponent 1023+6=1029
1029 = 10000000101
Normalised mantisa = 010101001
we will add 0's to complete the 52 bits

The IEEE 754 Double precision is:
= 0 10000000101 0101010010000000000000000000000000000000000000000000
This can be written in hexadecimal form 4055480000000000 

特殊值： IEEE保留了一些可能含糊的值。

• 零 –
  零是一个特殊的值，用指数和尾数0表示。-0和+0是不同的值，尽管它们都是相等的。
• 非正规化–
  如果指数全为零，但尾数不是零，则该值是非正规数。这意味着该数字在二进制点之前没有假定的前导数字。
• 无限 –
  值+ infinity和-infinity用全1的指数和全零的尾数表示。符号位区分负无穷大和正无穷大。在IEEE中，定义了无穷大的运算。
• 不是数字(NAN)–
  值NAN用于表示错误值。当指数字段为全零且带零符号位或尾数不是1后跟零的尾数时，将表示此值。这是一个特殊值，可用于表示尚不包含值的变量。

EXPONENT	MANTISA	VALUE
0	0	exact 0
255	0	Infinity
0	not 0	denormalised
255	not 0	Not a number (NAN)

与双精度(用2049代替255)类似，浮点数范围：

	Denormalized	Normalized	Approximate Decimal
Single Precision	± 2-149 to (1 – 2-23)×2-126	± 2-126 to (2 – 2-23)×2127	± approximately 10-44.85 to approximately 1038.53
Double Precision	± 2-1074 to (1 – 2-52)×2-1022	± 2-1022 to (2 – 2-52)×21023	± approximately 10-323.3 to approximately 10308.3

正浮点数的范围可以分为归一化数和非归一化数，它们仅使用分数精度的一部分。由于每个浮点数都有一个对应的负值，因此上述范围在零附近对称。

有五个不同的数值范围，单精度浮点数不能用到目前为止提出的方案表示：

1. 负数小于–(2 – 2 ^-23 )×2 ¹²⁷ (负溢出)
2. 负数大于– 2 ^-149 (负下溢)
3. 零
4. 正数小于2 ^-149 (正下溢)
5. 正数大于(2 – 2 ^-23 )×2 ¹²⁷ (正溢出)

溢出通常意味着值已变得太大而无法表示。下溢是一个不太严重的问题，因为它仅表示精度损失，可以保证将其近似为零。

有限IEEE浮点数的总有效范围表如下所示：

	Binary	Decimal
Single	± (2 – 2-23) × 2127	approximately ± 1038.53
Double	± (2 – 2-52) × 21023	approximately ± 10308.25

特别行动–

Operation	Result
n ÷ ±Infinity	0
±Infinity × ±Infinity	±Infinity
±nonZero ÷ ±0	±Infinity
±finite × ±Infinity	±Infinity
Infinity + Infinity Infinity – -Infinity	+Infinity
-Infinity – Infinity -Infinity + – Infinity	– Infinity
±0 ÷ ±0	NaN
±Infinity ÷ ±Infinity	NaN
±Infinity × 0	NaN
NaN == NaN	False