计算在n个人之间分配m项的方法

给定m和n分别代表芒果数量和人数。任务是计算在n个人之间分配m芒果的方式数量。考虑变量m和n，我们得出4个典型的用例，其中芒果和人被认为是：
1)两者相同
2)分别唯一和相同
3)分别相同和唯一
4)两者都独特
先决条件：二项式系数|排列组合

案例1：在n个相同的人中分配m个相同的芒果
如果我们尝试连续传播m个芒果，我们的目标是将这些m个芒果分配给n个坐在这些芒果之间的人。我们需要做的就是将这m个芒果集中到n个集合中，以便可以将这n个集合中的每一个分别分配给n个人。
为了完成上述任务，我们需要通过使用n-1个分区程序来创建n组芒果来对芒果的初始排列进行分区。在这种情况下，我们需要一起布置m个芒果和n-1个分区。所以我们需要$(m+ n-1)!$计算答案的方法。
下图显示了放置3个分区(即P1，P2，P3)后创建的分区排列的示例(一种方式)，该分区将所有7个芒果划分为4个不同的分区，以便4个人可以拥有各自分区的自己的部分：

由于所有芒果都被认为是相同的，因此我们划分$(m+n-1)!$经过$(m)!$扣除重复的条目。同样，我们再次将以上表达式除以$(n-1)!$因为所有人也被认为是相同的。
我们得到的最终表达式是： $(m+n-1)!/((n-1)!*(m)!)$
上面的表达式实际上等于二项式系数： $^m^+^n^-^1C_n_-_1$
例子：

Input :  m = 3, n = 2
Output : 4
There are four ways
3 + 0, 1 + 2, 2 + 1 and 0 + 3 

Input :  m = 13, n = 6
Output : 8568

Input :  m = 11, n = 3
Output : 78

C++

// C++ code for calculating number of ways
// to distribute m mangoes amongst n people
// where all mangoes and people are identical
#include 
using namespace std;
 
// function used to generate binomial coefficient
// time complexity O(m)
int binomial_coefficient(int n, int m)
{
    int res = 1;
 
    if (m > n - m)
        m = n - m;
 
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        res *= (n - i);
        res /= (i + 1);
    }
 
    return res;
}
 
// helper function for generating no of ways
// to distribute m mangoes amongst n people
int calculate_ways(int m, int n)
{
    // not enough mangoes to be distributed
    if (m < n)
        return 0;
     
    // ways  -> (n+m-1)C(n-1)
    int ways = binomial_coefficient(n + m - 1, n - 1);
    return ways;
}
 
// Driver function
int main()
{
    // m represents number of mangoes
    // n represents number of people
    int m = 7, n = 5;
 
    int result = calculate_ways(m, n);
    printf("%d\n", result);
 
    return 0;
}

Java

// Java code for calculating number of ways
// to distribute m mangoes amongst n people
// where all mangoes and people are identical
 
import java.util.*;
 
class GFG {
 
    // function used to generate binomial coefficient
    // time complexity O(m)
    public static int binomial_coefficient(int n, int m)
    {
        int res = 1;
 
        if (m > n - m)
            m = n - m;
 
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            res *= (n - i);
            res /= (i + 1);
        }
 
        return res;
    }
 
    // helper function for generating no of ways
    // to distribute m mangoes amongst n people
    public static int calculate_ways(int m, int n)
    {
 
        // not enough mangoes to be distributed
        if (m < n) {
            return 0;
        }
 
        // ways  -> (n+m-1)C(n-1)
        int ways = binomial_coefficient(n + m - 1, n - 1);
        return ways;
    }
 
    // Driver function
    public static void main(String[] args)
    {
 
        // m represents number of mangoes
        // n represents number of people
        int m = 7, n = 5;
 
        int result = calculate_ways(m, n);
        System.out.println(Integer.toString(result));
 
        System.exit(0);
    }
}

Python3

# Python code for calculating number of ways
# to distribute m mangoes amongst n people
# where all mangoes and people are identical
 
 
# function used to generate binomial coefficient
# time complexity O(m)
def binomial_coefficient(n, m):
    res = 1
 
    if m > n - m:
        m = n - m
 
    for i in range(0, m):
        res *= (n - i)
        res /= (i + 1)
 
    return res
 
# helper function for generating no of ways
# to distribute m mangoes amongst n people
def calculate_ways(m, n):
 
    # not enough mangoes to be distributed   
    if m (n + m-1)C(n-1)
    ways = binomial_coefficient(n + m-1, n-1)
    return int(ways)
 
# Driver function
if __name__ == '__main__':
 
    # m represents number of mangoes
    # n represents number of people
    m = 7 ;n = 5
 
    result = calculate_ways(m, n)
    print(result)

C#

// C# code for calculating number
// of ways to distribute m mangoes
// amongst n people where all mangoes
// and people are identical
using System;
 
class GFG
{
 
// function used to generate
// binomial coefficient
// time complexity O(m)
public static int binomial_coefficient(int n,
                                       int m)
{
    int res = 1;
 
    if (m > n - m)
        m = n - m;
 
    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        res *= (n - i);
        res /= (i + 1);
    }
 
    return res;
}
 
// helper function for generating
// no of ways to distribute m
// mangoes amongst n people
public static int calculate_ways(int m, int n)
{
 
    // not enough mangoes
    // to be distributed
    if (m < n)
    {
        return 0;
    }
 
    // ways -> (n+m-1)C(n-1)
    int ways = binomial_coefficient(n + m - 1,
                                    n - 1);
    return ways;
}
 
// Driver Code
public static void Main()
{
 
    // m represents number of mangoes
    // n represents number of people
    int m = 7, n = 5;
 
    int result = calculate_ways(m, n);
    Console.WriteLine(result.ToString());
}
}
 
// This code is contributed
// by Subhadeep

PHP

 $n - $m)
        $m = $n - $m;
 
    for ($i = 0; $i < $m; ++$i)
    {
        $res *= ($n - $i);
        $res /= ($i + 1);
    }
 
    return $res;
}
 
// Helper function for generating
// no of ways to distribute m.
// mangoes amongst n people
function calculate_ways($m, $n)
{
    // not enough mangoes to
    // be distributed
    if ($m < $n)
        return 0;
     
    // ways -> (n+m-1)C(n-1)
    $ways = binomial_coefficient($n + $m - 1,
                                      $n - 1);
    return $ways;
}
 
// Driver Code
 
// m represents number of mangoes
// n represents number of people
$m = 7;
$n = 5;
 
$result = calculate_ways($m, $n);
echo $result;
 
// This code is contributed
// by Shivi_Aggarwal
?>

Javascript

 
// Javascript code for calculating number of ways
// to distribute m mangoes amongst n people
// where all mangoes and people are identical
 
// function used to generate binomial coefficient
// time complexity O(m)
function binomial_coefficient(n, m)
{
    let res = 1;
 
    if (m > n - m)
        m = n - m;
 
    for (let i = 0; i < m; ++i) {
        res *= (n - i);
        res /= (i + 1);
    }
 
    return res;
}
 
// helper function for generating no of ways
// to distribute m mangoes amongst n people
function calculate_ways(m, n)
{
    // not enough mangoes to be distributed
    if (m < n)
        return 0;
     
    // ways -> (n+m-1)C(n-1)
    let ways = binomial_coefficient(n + m - 1, n - 1);
    return ways;
}
 
// Driver function
 
    // m represents number of mangoes
    // n represents number of people
    let m = 7, n = 5;
 
    let result = calculate_ways(m, n);
    document.write(result);
 
// This code is contributed by Mayank Tyagi

输出：

330

时间复杂度： O(n)
辅助空间： O(1)
案例2：在n个相同的人中分配m个独特的芒果
在这种情况下，要计算在n个相同的人中分配m个独特的芒果的方式数量，我们只需要将最后一个表达式相乘即可$^m^+^n^-^1C_n_-_1$我们在案例1中计算出$m!$ 。
所以我们对这种情况的最终表达是$^m^+^n^-^1C_n_-_1*m!$
证明：
在第一种情况下，最初我们得到表达式$(m+ n-1)!$而不删除重复的条目。
在这种情况下，我们只需要划分$(n-1)!$因为在这种情况下，所有芒果都被认为是唯一的。
因此，我们将表达式表示为： $(m+ n-1)!/(n-1)!$
分子和分母都乘以$(n-1)!$ ，
我们得到$(m+ n-1)!*m!/(n-1)!*m!$
在哪里$((m+ n-1)!/(n-1)!*m!)*m!$ === $^m^+^n^-^1C_n_-_1*m!$
时间复杂度： O(max(n，m))
辅助空间： O(1)
案例3：在n个独特的人中分配m个相同的芒果
在这种情况下，要计算在n个唯一的人中分配m个相同的芒果的方式，我们只需要将最后一个表达式相乘即可$^m^+^n^-^1C_n_-_1$我们在案例1中计算出$(n-1)!$ 。
所以我们对这种情况的最终表达是$^m^+^n^-^1C_n_-_1*(n-1)!$
证明：
该证明与最后一种情况的证明非常相似。
在第一种情况下，最初我们得到表达式$(m+ n-1)!$而不删除重复的条目。
在这种情况下，我们只需要划分$m!$因为在这种情况下所有人都被认为是独一无二的。
因此，我们将表达式表示为： $(m+ n-1)!/m!$
分子和分母都乘以$(n-1)!$ ，
我们得到$(m+ n-1)!*(n-1)!/(n-1)!*m!$
在哪里$((m+ n-1)!/(n-1)!*m!)*(n-1)!$ === $^m^+^n^-^1C_n_-_1*(n-1)!$
时间复杂度： O(n)
辅助空间： O(1)
有关如何计算的参考$m!$请参阅此处的数字阶乘
案例4：在n个独特的人中分配m个独特的芒果
在这种情况下，我们需要将在情况1中获得的表达式乘以两个$m!$和$(n-1)!$ 。
在情况2和情况3中定义了两个乘法的证明。
因此，在这种情况下，我们的最终表达式是$^m^+^n^-^1C_n_-_1*(n-1)!*m!$
时间复杂度： O(n + m)
辅助空间： O(1)