直角坐标系

数字线可用于表示仅包含一个变量的数字或方程式的解。描述一值方程的解就足够了，因为它们都是一维的。但是随着方程中变量数量的增加，这还不够。例如，当方程中的变量数变为2时，将有一对数作为解。这就是为什么必须扩展数字线的概念。现在应该有2条数字行，但是我们将如何显示它的解决方案?

因此，让我们定义一个平面来绘制解决方案，而不是直线。

笛卡尔平面，坐标和线

笛卡尔平面：

笛卡尔平面由两条垂直的数字线X和Y定义。它在两个方向上都延伸到无穷大。它的中心通常用O表示。

水平线称为X轴，垂直线称为Y轴。

笛卡尔坐标：

直角坐标用于标记点周围的平面。向上/向下多远或向左/向右多远。

它们总是按照一定的顺序书写：

• 水平距离
• 垂直距离

这被称为“有序对”(按特殊顺序排列的一对数字)，通常，数字之间用逗号分隔，并在括号中加上括号，如(5,4) 。

横坐标和纵坐标：

它们只是x和y值的不同名称：

• 横坐标：一对坐标中的x值。

• 纵坐标：一对坐标中的y值。

问题1：点A(5,4)与X轴的距离是多少?

回答：

Point A (5,4) on the XY Plane is lying in such a way that it is 5 Units away from the Y Axis and 4 Units away from the X Axis.

Therefore, Point A (5,4) is 4 Units of distance away from X Axis.

问题2：B点(54，36)与Y轴的距离是多少?

答：

Point B (54,36) is lying on the XY Plane. It is clear that point B is 54 units away from the Y Axis and 36 Units away from the X Axis.

Hence, Point B (54, 36) is 54 Units away from Y axis.

两个变量的线性方程

两个变量的线性方程可以表示为

Ax + By = C, 

where A, B are not equal to zero. 

这些方程式有多个解决方案。

例如：x + 2y = 6

x = 2和y = 2满足该方程式。同样，(0,3)也是一个解决方案。有无数这样的解决方案。满足该方程式的所有点都位于一条直线上。这意味着两个变量中的方程表示笛卡尔平面上的一条线。

满足等式x + 2y = 6的所有点形成一条线。

还可以采用斜率截距的形式编写两个变量中的线性方程，以使其更容易在图形上绘制和解释。一条线与y轴相交的点称为“截距”。可以通过将x = 0并通过单个变量方程找出“ y”来找到。与正x轴的直线所成的角度称为斜率。

坡度截取形式

通常，以这种形式编写包含两个变量的线性方程式，因为这是在绘制方程式时找到代表方程式的线的斜率的最简单方法。

坡度截取形式

• (0，C) = Y轴的截距。
• (x，y) =线上的一个点。

斜率截距形式为：

Y = mX + C

其中“ m”是直线的斜率，“ C”是截距(直线与y轴的交点)。

Note: If the intercept ‘C’ is zero, then the equation of the lines becomes y = mx and it passes through origin. 

问题：在图形上画线3x + 2y = 6。

回答：

This equation must be reduced into the slope intercept form so that we can draw this on graph. 

3x + 2y = 6 

⇒ 2y = 6 – 3x

⇒ y= 3 – (3/2)x

⇒ y = -(3/2)x + 3

Now this equation can be plotted on graph. 

Here, intercept ‘c’ = 3 and slope ‘m’ = -(3/2)

点坡形式：

当斜率“ m”和直线的一个点对我们可用时，它用于描述直线。

y – y ₁ = m(x – x ₁ )

拦截形式：

当x和y轴截距均可用时，用于描述该线。

$\frac{x}{x_{1}} + \frac{y}{y_{1}} = 1$

两点形式：

当两个满足线方程的点可用时使用。

$y-y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}(x - x_{1})$

平行于x轴或y轴的线方程

查找平行于x轴或y轴的线的方程。

假设有一条直线XY与X轴平行，并且与X轴的距离为“ 5”。这意味着线的所有点都距离x轴5个单位。因此，线XY上的所有点都满足一个条件，即它们都距x轴5个单位。

令(x，y)为线XY上的任意点，则它应满足y = 5。

因此，所有平行于x轴的线都将具有y = c的形式，其中“ c”是线与x轴的距离。

类似地，所有与y轴平行的线都将具有x = c的形式，其中“ c”是线与y轴的距离。

线性方程组

当两个或多个线性方程式一起工作时，便形成了一个线性方程式系统。由于每个方程表示在笛卡尔平面上的一条线。从几何上讲，找出系统的解决方案意味着找出同时满足两条直线的点，即找出直线的交点。

例如：

2x + y = 5 

-x + y = 2 

Now, one might think of finding some values of x and y such that both of these equations are satisfied. Such values may or may not exist. But if they exist, they are called solution of this system of linear equations. 

线性方程组求解系统

求解线性方程组时，可能会出现三种情况：

1. 没有解决方案
2. 独特的解决方案
3. 无限解决方案

独特的解决方案：仅当线在某点相交时才存在这种解决方案。只有一种解决方案，并且只有当两条直线的斜率不同(即m ₁ ≠m ₂₎时才有可能。

无解决方案：仅当线平行时才存在这种解决方案。如果它们是平行的，则它们之间将没有任何相交点。因此，对于这种情况，m ₁ = m ₂ 。

无限解：在这种情况下，由于两条线重合，因此两条直线彼此重合时，它们是满足两条直线的无限多个公共点。因此存在无限的解决方案。

(从左到右)独特的解决方案，无解决方案和无限多个解决方案。

问题1：找到以下两条线之间的交点：

3x + 4y = 12

x + y = 3

回答：

Such a system is solved using the substitution method. 

x = 3 – y

Putting this value in the equation 1, 

3(3 – y) + 4y = 12 

9 – 3y + 4y = 12 

y = 3 

So, x = 0, 

Thus, the solution is (0,3). 

问题2：找到两条线的解决方案。

x + y = 5

3x + 3y = 15

回答：

Taking 3 common from the second Equations, 

 It will become: 3 (x + y) = 3 (5)

                            x + y = 5 

This Equation is exactly equal to the first equation. Hence, we can conclude these two lines are Parallel with each other.

Therefore, the above mentioned system of equations has No Solution.