向量上的点和叉积

不仅通过幅度而且通过方向来表征的量称为矢量。速度，力，加速度，动量等是向量。

向量可以通过两种方式相乘：

• 标量产品或点产品
• 矢量积或叉积

向量的标量积/点积

两个向量的标量积/点积的结果始终是标量。考虑两个向量a和b 。标量乘积被计算为a，b的大小和这些向量之间的角度的余弦的乘积。

标量积= | a || b | cosα

Here, |a| = magnitude of vector a

         |b| = magnitude of vector b

         α = angle between the vectors

向量a和b之间的夹角为α

一个向量在其他向量上的投影

向量a可以投影到l线，如下所示：

CD =向量a在向量b上的投影

从上图可以清楚地看出，我们可以将一个向量投影到另一个向量上。 AC是矢量A的大小。在上图中，AD垂直于线l绘制。 CD表示向量a在向量b上的投影。

因此，三角形ACD是直角三角形，我们可以应用三角公式。

If α is the measure of angle ACD, then

cos α = CD/AC

Or, CD = AC cos α

从图中可以明显看出，CD是向量a在向量b上的投影

因此，我们可以得出结论，一个向量可以通过它们之间夹角的余弦投影在另一个向量上。

标量产品的属性：

• 两个向量的标量积始终是实数(标量)。
• 标量积是可交换的，即ieab = ba = | a || b | cosα
• 如果α为90°，则当cos(90)= 0时标量积为零。因此，单位向量在x，y方向上的标量积为0。
• 如果α为0°，则标量积是a和b的大小的乘积| a || b |。
• 单位向量与其自身的标量积为1。
• 向量a与自身的标量积为| a |。 ^2个
• 如果α为180 ⁰ ，则向量a和b的标量积为-| a || b |。
• 标量产品比加法分布

一种。 ( b + c )= ab + ac

• 那么对于任何标量k和m

l a。 (m b )=公里ab

• 如果向量的分量形式为：

a = a1x + a2y + a3z

b = b1x + b2y + b3z

那么标量积为

ab = a1b1 + a2b2 + a3b3

• 在以下情况下，标量积为零：
  • 向量a的大小为零
  • 向量b的大小为零
  • 向量a和b相互垂直

基于点积的不等式

柯西– Schwartz不等式

根据此原理，对于任何两个向量a和b ，点积的大小始终小于或等于向量a和向量b的大小之积

| ab | ≤ | a | | b |

证明：

Since, a.b = |a| |b| cos α

We know that 0 < cos α < 1

So, we conclude that |a.b| ≤ |a| |b| 

三角不等式

对于任何两个向量a和b ，我们总是

| a + b | ≤|一个| + | b |

三角不等式

证明：

|a+b|²=|a+b||a+b|

          = a.a + a.b +b.a+ b.b

          = |a|²+ 2a.b+|b|² (dot product is commutative)

          ≤ |a|² + 2|a||b| + |b|²

          ≤ (|a| + |b|)²

This proves that |a + b| ≤ |a| + |b|

向量点积的例子

问题1.考虑两个向量，使得| a | = 6和| b | = 3且α= 60°。查找他们的点积。

解决方案：

a.b = |a| |b| cos α

So, a.b = 6.3.cos(60°)

            =18(1/2)

a.b = 9

问题2。证明向量a = 3i + j-4k和向量b = 8i-8j + 4k是垂直的。

解决方案：

We know that the vectors are perpendicular if their dot product is zero

a.b = (3i+j-4k)(  8i-8j+4k) 

    = (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

      =24-8+16 =0

Since the scalar product is zero, we can conclude that the vectors are perpendicular to each other.

向量的叉积/向量积

读者已经熟悉三维右手直角坐标系。在该系统中，如果x轴逆时针旋转到y轴正方向，则表明右旋(标准)螺钉将沿z轴正方向前进，如图所示。

3D直角坐标系

数学上计算两个向量a和b之间的夹角为α的向量积为

a×b = | a | | b |正弦α

注意，叉积是具有指定方向的向量。结果始终与a和b都垂直。

如果a和b是并行向量，则当sin(0)= 0时，结果应为零。

叉积的特性：

• 叉积生成向量数量。结果始终与a和b都垂直。
• 当sin(0)= 0时，平行向量/共线向量的叉积为零。

i×i = j×j = k×k = 0

• 两个相互垂直的向量(单位大小)的叉积为1。 (因为sin(0)= 1)
• 叉积不是可交换的。

a×b不等于b×a

• 叉积比加法分配

a× ( b + c )= a ×b + a × c

• 如果k是标量，

k(a×b)= k(a)×b = a×k(b)

• 沿顺时针方向移动并取任意两对单位向量的叉积，我们得到第三个，而沿逆时针方向，我们得到负结果。

顺时针和逆时针方向上的乘积

可以建立以下结果：

i×j = k j×k = i k×i = j

j×i = -k i×k = -j k×j = -i

行列式形式的叉积

如果向量a表示为a = a1x + a2y + a3z ，向量b表示为b = b1x + b2y + b3z

然后可以使用行列式来计算叉积a×b

$\begin{matrix} x & y & z\\ a1 & a2 & a3\\ b1 & b2 & b3 \end{matrix}$

a×b = x(a2b3 – b2a3)+ y(a3b1 – a1b3)+ z(a1b2 – a2b1)

如果a和b是平行四边形OXYZ的相邻边，而α是矢量a和b之间的夹角。

然后，平行四边形的面积由|给出。 a×b | = | a | | b |sin.α

向量a和b作为平行四边形的相邻边

向量的叉积示例

问题1.如果两个向量a和b的大小分别为5和10，则求叉积。给定之间的角度为30°。

解决方案：

a × b = a.b.sin (30)

= (5) (10) (1/2)

= 25 perpendicular to a and b

问题2.求平行四边形的面积，其相邻边为

a = 4i + 2j -3k

b = 2我+ j-4k

解决方案：

The area is calculated by finding the cross product of adjacent sides

a × b = x(a2b3 – b2a3) + y(a3b1 – a1b3) + z(a1b2 – a2b1)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-2)

= -5i +10j + 2k

Therefore, the magnitude of area is $\sqrt{(52 +102 +22)}$

= $\sqrt{(25+100+4)}$

= $\sqrt{(129)}$

应用：点产品和十字产品广泛用于工程应用。