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📜  切线和法线

📅  最后修改于: 2021-06-24 15:15:02             🧑  作者: Mango

对于给定的曲线，在特定点处的切线是一条直线，该直线刚好在该点处与该曲线接触，并且与该点处的曲线的方向相同，即，如果该曲线在该点处停止跟踪函数，则它将一直走下去，那将是一条切线。

让我们通过一个例子来理解这一点：

想象一下，您正在将石头旋转到与螺纹绑在一起的圆圈中。

现在，如果您在任何时候松开螺纹，那么石材将沿着一条直线路径移动，而该直线路径是在松开石材时圆形路径与石材之间的接触点的切线。

切线的性质

  1. 切线仅在接触点接触曲线。
  2. 如果与曲线的任何切线y = f(x)与x轴成角度θ，则dy / dx =切线的斜率= tanθ。
  3. 如果切线的斜率为零，则tanθ等于0，因此θ= 0，这意味着切线与x轴平行。
  4. 如果θ=π/ 2，则tanθ将接近∞，即切线垂直于x轴。

切线的应用

  1. 如果您在拐角处乘汽车旅行，并且进行了漂移，则您的汽车开始打滑，它将沿着与曲线相切的方向继续行驶。
  2. 如果您握住一块石头并以打圈的方式摆动，然后放开，它会以与打圈的切线相交的方式飞行。

重要事项：

  • 切线的长度是|y \sqrt{1+(\frac{1}{\frac{dy}{dx}})^2}|
  • 切线的长度为| y / dy / dx |
  • 当切线平行于ax +线且+ c = 0时，则dy / dx = -a / b。

法线：曲线的法线是在给定点处垂直于该曲线的切线的直线。

例如：让我们以曲线y =x²为例，如果要在点(1，1)上绘制法线，则需要先在该点绘制与曲线相切的线。然后，我们将绘制一条垂直于切线的线。它看起来像这样。

法线的属性

  1. 圆的任何点处的法线将始终穿过圆的中心。
  2. 任何曲线的法线始终垂直于曲线上任意点的切线。

正常应用

  1. 作用在圆周上运动的物体上的向心力始终垂直于给定时间的接触点
  2. 轮辐在辐条与中心连接的每个点处均垂直于轮辋。

切线和曲线法线的方程

直角坐标系中曲线的切线和法线的方程

在曲线上的某个点处，曲线的坡度等于该点处与曲线相切的坡度。因此，可以通过该点到曲线和给定点的梯度来找到切线方程，如下所示：

众所周知，直线方程通过点P(x 0 ，y 0 )为

y – y 0 = m(x – x 0 )

此处，m是直线的有限斜率。现在，给定曲线的切线的斜率在点P(x 0 ，y 0 )上的y = f(x)为f(x 0 )’。那么，在点P(x 0 ，y 0 )上曲线的切线的等式为：

对于法线，我们已经知道法线总是垂直于切线。则曲线法线的斜率将为：

因此，在点(x 0 ，y 0 )上曲线y = f(x)的法线的等式为：

参数形式的曲线的切线和法线方程

让我们假设曲线的参数形式为

x = x(t)…。(i)

y = y(t)…。(ii)

现在，通过使用微分规则，找到点(x 0 ，y 0 )上曲线的切线的斜率：

m = tanα= y t ‘/ x t ‘

因此，切线的等式为：

因此，法线的等式为：

极坐标中曲线的切线和法线的方程

让我们假设曲线的极坐标方程为r = f(θ)。它表示半径矢量r对极角θ的依赖性。 在笛卡尔坐标中，该曲线可以写成以下方程式

x = r = f(θ)cosθ…。(i)

y = r = f(θ)sinθ…。(ii)

这样就得到了曲线的参数方程。现在我们找到在点(x 0 ，y 0 )处曲线的切线的斜率。

米=tanθ= Y ‘θ/ X’ θ= R ‘θ罪θ+rcosθ/ R’ θCOSθ – rsinθ

因此，切线的等式为：

因此，法线的等式为：

样本问题

问题1.在x = 1处找到切线的斜率和曲线的法线y = 6x 2 – 10x。

解决方案：

问题2.查找在x = 0处切线和法线的斜率y = 3x 3 + 3sin(x)。

解决方案：

问题3.在P(1，0)处找到曲线y = 6x 2 – 2x + 3的切线方程。

解决方案：

问题4.确定曲线y = 6x 2 – 8x + 1上的切线与直线y = 4x – 5平行的点。

解决方案：

问题5.求出切线与曲线的斜率：

x = sin 2 u，y = cos 2 u，其中u =π/ 2。

解决方案：