给定比率的线段划分–结构| 10级数学

线是没有厚度的直的一维图形。在几何形状中，一条线在两个方向上无限延伸。它被描述为任意两点之间的最短距离。 A线也可以理解为沿一个特定方向彼此连接的多个点，它们之间没有间隙。

线段是一条线的一部分，该线由两个不同的端点界定，并以尽可能短的距离包含端点之间线上的每个点。

写下点的坐标的规则，该点将两个给定点P(x ₁ ，y ₁ )和Q(x ₂ ，y ₂ )的连接在内部按给定比率m ₁ ：m _{2进行划分}

1. 绘制连接给定点P和Q的线段
2. 写下四肢的p和Q坐标
3. 令R(x，y)为输入以内部比例m ₁ ：m _2除以PQ
4. 对于R的x坐标，将x ₂乘以m ₁并将x ₁乘以m ₂并乘积。将总和除以m ₁ + m ₂
5. 对于R的y坐标，将y ₂乘以m ₁并将y ₁乘以m ₂并乘积。将总和除以m ₁ + m ₂

公式的推导

设P(x ₁ ，y ₁ )和Q(x ₂ ，y ₂ )是坐标平面中给定线的两端，R(x，y)是该线上的点，该点将PQ按比例进行划分m ₁ ：m ₂使得

PR / RQ = m ₁ / m ₂ …(1)

垂直于x轴并通过R的绘制线PM，QN和RL绘制一条平行于x轴的直线，以在S处遇到MP，在T处遇到NQ。

因此，从图中我们可以说，

SR = ML = OL – OM = x – x₁          …(2)

RT = LN = ON – Ol = x₂ – x            …(3)

PS = MS – MP = LR – MP = y – y₁    …(4)

TQ = NQ – NT = NQ – LR = y₂ – y   …(5)

现在∆ SPR类似于∆ TQR

SR / RT = PR / RQ

通过使用等式2、3和1，我们知道，

x – x₁ / x₂ – x = m₁ / m₂

m₂x – m₂x₁ = m₁x₂ – m₁x

m₁x + m₂x = m₁x₂ + m₂x₁

(m₁ + m₂)x = m₁x₂ + m₂x₁

x = (m₁x₂ + m₂x₁) / (m₁ + m₂)

现在∆ SPR类似于∆ TQR，

所以，

PS/TQ = PR/RQ

By using equation 4, 5, and 1, we know,

y – y₁ / y₂ – y = m₁/m₂

m₂y – m₂y₁ = m₁y₂ – m₁y

m₁y + m₂y = m₁y₂ + m₂y₁

(m₁ + m₂)y = m₁y₂ + m₂y₁

y = (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂)

因此，R(x，y)的坐标为

基于公式的样本问题

问题1：计算点P的坐标，该点将连接A(-3,3)和B(2，-7)的线按比例2：3划分

解决方案：

Let (x, y) be th co-ordinates of the point P which divides the line joining A(-3, 3) and B(2, -7) in the ratio 2:3, then

Applying the formulae,

x = (m₁x₂ + m₂x₁) / (m₁ + m₂)

x = {2 x 2 + 3 x (-3)} / (2 + 3)

x = (4 – 9) / 5

x = -5 / 5

x = -1

y = (m₁y₂ + m₂y₁) / (m₁ + m₂)

y = {2 x (-7) + 3 x 3} / (2 + 3)

y = (-14 + 9) / 5

y = -5 / 5

y = -1

Hence the co-ordinates of point P are (-1, -1).

问题2：如果将连接点A(4，-5)和B(4,5)的线除以点P，使得AP / AB = 2/5，请找到P的坐标。

解决方案：

给定AP / AB = 2/5

5AP = 2AB = 2(AP + PB)

3AP = 2PB

AP/PB = 2/3

AP:PB = 2:3

Thus the point P divides the line segment joining the points A(4, -5) and B(4, 5) in the ratio 2:3 internally.

Hence the coordinates of P are,

P_x = (2 x 4 + 3 x 4)/(2 + 3)

    = (8 + 12)/5

    = 20/5 

    = 4

P_y = (2 x 5 + 3 x (-5))/(2 + 3)

   = (10 – 15)/5

   = -5/5

   = -1

Coordinates of P are (4, -1).

问题3：点P(2，-5)以什么比例划分连接点A(-3，5)和B(4，-9)的线段。

解决方案：

令P(2，-5)以k：1的比例划分连接点A(-3，3)和B(4，-9)的线段，即AP：PB = k：1

Therefore, Coordinates of P are,

P_x = (k.4 + 1.(-3)) / (k + 1)

P_y = (k.(-9) + 1 x 5)/(k + 1) 

But P is (2, -5) therefore,

(4k – 3) / (k + 1) = 2 and (-9k + 5) / (k + 1) = -5

Solving any of the two equation we get k = 5/2

Therefore, the required ratio is 5/2:1 i.e. 5:2(internally)