查找时间复杂度的Akra-Bazzi方法

大师定理是解决以下形式的时间复杂性递归的一种流行方法：

$T(n) = aT(\frac{n}{b}) + f(n)$

约束a，b和f(n)。递归关系形式限制了Master定理的可用性。以下是三个不能用大师定理直接解决的递归：

1. $\large{T(n) = 3T(\frac{n}{5}) + 2T(\frac{n}{5}) + \theta(n)}$
2. $\large{T(n) = \frac{1}{3}T(\frac{n}{3}) + \theta(\frac{1}{n})}$
3. $\large{T(n) = 9T(\frac{n}{3}+\log n) + \theta(n)}$

Akra-Bazzi方法：本文探讨了另一种解决此类复发的方法，该方法由Mohammad Akra和Louay Bazzi于1998年开发。 Akra-Bazzi方法可以应用于以下形式的重复出现：

$T(n)=\sum_{i=1}^{k} a_{i} T(b_{i}n+h_{i}(n))+g(n)$

在哪里， $a_{i}$和$b_{i}$是这样的常量：

1. $\ a_{i}>0$
2. $\ 0<b_{i}<1 \textnormal{ i.e. in the range (0, 1)}$
3. $\ g(n)\ \epsilon\ O(n^{c}) \textnormal{ i.e. }g(n) \textnormal{ must have a polynomial upperbound}$
4. $\ h_{i}(x)\ \epsilon\ O(\large\frac{n}{(logn)^{2}}\normalsize)$

接下来，找到p使得

$\large{\sum_{i=1}^k a_ib_i^p=1}$
 

然后

$\large{T(n)\epsilon\ \theta(n^{p}(1+\int_{1}^{n}\frac{g(u)}{u^{p+1}}du))}$

例子
让我们考虑上面讨论的三种重复，并使用方法解决它们：

范例1。

$\large{T(n) = 3T(\frac{n}{5}) + 2T(\frac{n}{5}) + \theta(n)}$

这里

1. a₁ = 3
2. b₁ = $\large \frac{1}{5}$
3. a₂ = 2
4. b₂ = $\large \frac{1}{5}$
5. b₁ and b₂ are in the range (0, 1)
6. g(n) = \theta(n) which is O(n^c), here c can be 1.

在这个问题中，不存在_{h 1} (n)和h _2(n)。
这里p = 1满足

$3*\large {\frac{1}{5}^p}\normalsize +2*\large {\frac{1}{5}^p}\normalsize=1.$

最后，

=> $n^{1}(1+\int_{1}^{n}\large\frac{u}{u^{1+1}}\normalsize du)$

=> $n(1+\log{n}-\log{1})$

=>$n+n\log{n}$

=>$\theta(n\log{n})$

示例2

$\large{T(n) = \frac{1}{3}T(\frac{n}{3}) + \theta(\frac{1}{n^{2}})}$

这里

1. a = $\large \frac{1}{3}$
2. b = $\large \frac{1}{3}$
3. g(n) = $\theta(n^2)$
4. b is in the range (0, 1)
5. g(n) = \theta(n^2) which is in O(n^c), here c can be 1.

在这个问题中，不存在h(n)。
这里p = – 1满足

$\large\frac{1}{2}\normalsize*\large\frac{1}{2}^p\normalsize=1$

最后，

=> $n^{-1}(1+\int_{1}^{n}\large\frac{\frac{1}{u}}{u^{-1+1}}\normalsize du)$

=> $\large\frac{1}{n}\normalsize(1+\int_{1}^{n}\large\frac{1}{u}\normalsize du)$

=> $\large\frac{1}{n}\normalsize(1+[\log u]_{1}^{n})$

=> $\large\frac{1}{n}\normalsize(1+\log n)$

=> $\theta(\large\frac{\log n}{n}\normalsize)$

范例3。

$\large{T(n) = 9T(\frac{n}{3}+\log n) + \theta(n)}$

这里

1. a = 9
2. b = $\large\frac{1}{3}$
3. g(n) = \theta(n)$\theta(n)$
4. b is in the range(0, 1)
5. g(n) =  $\theta(n)$which is O(n^c), here c can be 1.
6. h(n) =  $\log{n}$ which is $O(\large\frac{n}{(logn)^{2}}\normalsize)$

这里p = 2满足

$9*\large\frac{1}{3}^p\normalsize=1$

最后，

=> $n^{2}(1+\int_{1}^{n}\large\frac{u}{u^{2+1}}\normalsize du)$

=> $n^{2}(1+\int_{1}^{n}\large\frac{1}{u^{2}}\normalsize du)$

=> $n^{2}(1+[-\large\frac{1}{u}\normalsize]_{1}^{n})$

=> $n^{2}(2-\large\frac{1}{n}\normalsize)$

=> $2n^{2}-n$

=> \theta(n^{2})$\theta(n^{2})$

好处：

• 适用于许多分而治之的算法。
• 对递归格式的限制要比Master定理小。
• 对于复杂的递归关系，可以使用数值方法来计算p。

缺点：

• 当g(n)的增长不是有界多项式时不起作用。例如， g(N)= 2 ^N。
• 不处理ceil和floor功能。

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