用黄金比例推导斐波那契数的表达

先决条件：生成函数，斐波那契数字，查找斐波那契数字的方法。

在这篇文章中已经讨论了使用生成函数来解决著名的和有用的斐波那契数的递归的方法。

生成函数是解决各种数学问题(包括计数问题)的强大工具。这是一个正式的幂级数。例如，在对问题进行计数时，我们通常会对找到大小对象的数量感兴趣$n$ 。在这种情况下，我们定义了一个幂级数，简单来说，它是一个无限项多项式，其中$nth$学位术语是$nth$序列项。这有助于我们找到许多有趣且重要的结果。应该注意的是，在使用生成函数时，我们通常在生成函数幂级数中使用系数，而在序列中很少使用变量。同样在这篇文章中，我们将做同样的事情。一个_n的普通生成函数是：

$\mathcal{G}(a_{n};x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^n$

斐波那契数是数学中的基本序列之一，并且发现了许多方法来找出该序列的高阶项。这篇文章讨论了一种这样的方法。

让我们首先定义一个生成函数的Fibonacci数，然后该函数将被简化为获得复发。使用此方法，扩展简化并将其分解为部分分数，然后使用两个标准幂级数，然后将它们两者合并以得出令人惊讶的结果。 $ith$斐波那契数列的名词。

让我们定义生成函数$\mathcal{F}$作为

$\mathcal{F}(z) = \sum_{i=0}^{\infty}F_{i}z^i$

$\mathcal{F}(z) = 0 + z + z^2 + 2z^3 + 3z^4 + 5z^5 + 8z^6 + ... \infty$,

where $F_{i}$ is the ith Fibonacci Number.

自从，

$\mathcal{F}(z) = z + z^2 + 2z^3 + 3z^4 + 5z^5 + 8z^6 + ... \infty$ 。

$\mathcal{F}(z) = z + (1 + 0)z^2 + (1 + 1)z^3 + (2 + 1)z^4 + (3 + 2)z^5 + (5 + 3)z^6 + ... \infty$ 。

重新排列它们，我们得到

$\mathcal{F}(z) = z + [z^2 + z^3 + 2z^4 + 3z^5 + 5z^6 + ... \infty] + [0 + z^3 + z^4 + 2z^5 + 3z^6 + ... \infty]$ 。

采取通用术语，

$\mathcal{F}(z) = z + (z)[z + z^2 + 2z^3 + 3z^4 + 5z^5 + ... \infty]$
$+ (z^2)[0 + z^1 + z^2 + z^3 + 3z^4 + ... \infty]$

进一步简化，获得以下函数。

$\mathcal{F}(z) = z + z\mathcal{F}(z) + z^2\mathcal{F}(z)$ 。

解决$\mathcal{F}(z)$ ，我们得到：

$\mathcal{F}(z) = \frac{z}{1-z-z^2}$ 。

通过以上操作，我们得到以下公式：

$1-z-z^2 = -(z + \phi)(z + \widehat{\phi})$,

where, $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ and $\widehat{\phi} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ .

因此，

$\mathcal{F}(z) = \frac{-z}{(z + \phi)(z + \widehat{\phi})}$
另请注意，

$\phi\widehat{\phi} = -1$ 。

因此，在上面的表达式中保持这种关系，我们得到，

$\mathcal{F}(z) = \frac{z}{(1-z\phi)(1 - z\widehat{\phi})}$ 。

现在，上述表达式的右手侧可以分为几个部分，

$\mathcal{F}(z) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left [ \frac{1}{(1-\phi z)} - \frac{1}{(1-\widehat{\phi} z)}\right ]$ 。

在两个分数上使用Expansion，

$\frac{1}{(1-\phi z)} = 1 + \phi z + \phi ^2 z^2 + \phi ^3 z^3 + ... \infty = \sum_{i=0}^{\infty}\phi ^iz^i$ 。

相似地，

$\frac{1}{(1-\widehat{\phi} z)} = 1 + \widehat{\phi} z + \widehat{\phi} ^2 z^2 + \widehat{\phi} ^3 z^3 + ... \infty = \sum_{i=0}^{\infty}\widehat{\phi} ^iz^i$ 。

因此，

$\mathcal{F}(z) = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi ^iz^i - \widehat{\phi} ^iz^i)$ 。

因此，

$F_{i} = \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi ^i - \widehat{\phi} ^i)$ 。

现在，

$\left | \phi \right | < 1$ ，

和，

$\left | \frac{\widehat{\phi} ^i}{\sqrt{5}} \right | < \left | \frac{\phi ^i}{\sqrt{5}} \right | < \frac{1}{2}$

利用以上两个事实，可以安全地得出以下结论：

$F_{i} = \frac{\phi ^i}{\sqrt{5}}$, rounded to the nearest integer.

使用黄金比例找到第n个斐波那契数是该公式的应用之一。