矩阵中的本征空间和本征谱值

先决条件：

• 数学|特征值和特征向量
• 矩阵乘法
• 矩阵的零空间和零空间

对于给定的矩阵A ，与特征值关联的A的所有特征向量的集合$\lambda$跨越的子空间，其被称为A的本征空间相对于$\lambda$并由表示$E_\lambda$ 。集合A的所有特征被称为Eigenspectrum，或者只是光谱，A的。
如果$\lambda$是A的特征值，则对应的特征空间$E_\lambda$是线性方程组齐次系统的解空间$(A-\lambda I)x = 0$ 。在几何上，对应于非零特征值的特征向量指向由线性映射拉伸的方向。特征值是对其进行扩展的因子。如果特征值为负，则拉伸方向会翻转。

除了已经在“数学|数学”一书中列出的属性以外，以下是特征值和特征向量的一些有用属性。特征值和特征向量。

矩阵A及其转置$A^{T}$具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。

本征空间$E_\lambda$是的空空间$A - \lambda I$自从
$Ax = \lambda x$$\Longleftrightarrow$$Ax - \lambda x = 0$$\Longleftrightarrow$$(A - \lambda I)x = 0$$\Longleftrightarrow$$x\in ker(A - \lambda I)$

注意： ker代表Kernel ，它是null space的另一个名称。

计算特征值，特征向量和特征空间：

考虑给定的2 X 2矩阵： $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$步骤1：特征多项式和特征值。特征多项式由det( $A - \lambda I$ ) $= det(\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 2 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix}$$= (4-\lambda)(3-\lambda) - 2.1$将特征多项式分解后，我们将得到$(2-\lambda)(5-\lambda)$给出特征值为$\lambda_1 = 2$和$\lambda_2 = 5$步骤2：特征向量和特征空间我们通过查看向量x来找到与这些特征值相对应的特征向量$\begin{bmatrix} 4-\lambda & 2 \\ 1 & 3-\lambda \end{bmatrix} % x = 0$为了$\lambda = 5$我们获得$\begin{bmatrix} 4-5 & 2 \\ 1 & 3-5 \end{bmatrix} % \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} % \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0$在解决了上述方程的齐次系统之后，我们将获得一个解空间$E_5 = span(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix})$本征空间是一维的，因为它拥有一个基本向量。同样，我们找到特征向量$\lambda = 2$通过解方程的齐次系统$\begin{bmatrix} 4-2 & 2 \\ 1 & 3-2 \end{bmatrix} % \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} % \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0$这意味着任何向量$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ ， 在哪里$x_2=-x_1$如$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$是具有特征值2的特征向量。这意味着特征空间为$E_2 = span(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix})$

两个本征空间$E_5$和$E_2$在上面的示例中，它们是一维的，因为它们每个都被一个向量覆盖。但是，在其他情况下，我们可能具有多个相同的特征向量，而特征空间可能具有多个维度。