挤压定理–极限

挤压定理是一个非常有用的极限定理，可以帮助我们求解一些复杂的极限。

定义

挤压定理指的是，如果对于一个函数 $f(x)$，存在两个函数 $g(x)$ 和 $h(x)$，使得 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 对于 $x$ 从某一点开始一直成立，同时 $\lim\limits_{x \to a}g(x) = L, \lim\limits_{x \to a}h(x) = L$，那么 $\lim\limits_{x \to a}f(x) = L$。

示例

比如说，我们要计算如下极限：

$$\lim_{x \to 0}x^2\sin\frac{1}{x}$$

这个极限很难直接求解，但是可以通过挤压定理来解决。首先，我们知道对于任意 $x$，有 $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$，同时有 $\lim\limits_{x \to 0}-x^2 = \lim\limits_{x \to 0}x^2 = 0$。

因此，我们可以得到

$$0 \le |x^2\sin\frac{1}{x}| \le x^2$$

根据挤压定理，这意味着

$$\lim_{x \to 0}x^2\sin\frac{1}{x} = 0$$

这样，我们就通过挤压定理，成功地求解了这个极限。

代码示例

以下是使用 Python 实现上述示例的代码片段：

import numpy as np

def limit(x):
  return x**2 * np.sin(1/x)

a = 0
g = lambda x: -x**2
h = lambda x: x**2

# 判断挤压定理是否成立
assert all(limit(x) >= g(x) and limit(x) <= h(x) for x in np.linspace(0.0001, 1, 1000))

# 计算极限
print(np.nan_to_num(np.round(np.array(h(a)), 8)))

在这个代码片段中，我们使用了 NumPy 库，先定义了要求解的函数 limit，然后定义了 $g(x)$ 和 $h(x)$，最后使用 np.nan_to_num 和 np.round 函数保证输出结果的正确格式。