极限公式介绍

极限公式是数学中的一种重要工具，可以用来求解函数在某个点的极限值。在数学、物理、工程等领域中都有广泛应用。

极限的定义

在介绍极限公式之前，我们先来回顾一下极限的定义。

当自变量 $x$ 趋近于某个值 $a$ 时，如果函数 $f(x)$ 的取值无限接近于一个定值 $L$，那么我们就说 $f(x)$ 在 $a$ 处的极限是 $L$，记作：

$$ \lim_{x\to a}f(x)=L $$

其中，$a$ 可以是一个实数，也可以是无穷大。如果极限存在，那么我们就可以利用极限公式来求解。

常用的极限公式

以下是一些常用的极限公式：

1. 基本极限公式

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{x}=0 $$

$$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{x}=1 $$

2. 夹逼定理

如果在 $x=a$ 的左右两侧，函数 $f(x), g(x), h(x)$ 满足 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且

$$ \lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L $$

那么 $$ \lim_{x\to a} f(x) = L $$

3. 分式极限

如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=a$ 处的极限都存在且 $g(a) \neq 0$，那么

$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)} $$

4. 带有绝对值的极限

$$ \lim_{x\to a}|f(x)| = |\lim_{x\to a}f(x)| $$

5. 高阶无穷小

当 $x \to 0$ 时，

$$ \sin x \sim x $$

$$ \cos x \sim 1 $$

$$ e^x - 1 \sim x $$

$$ \ln (1+x) \sim x $$

总结

以上是常用的极限公式，它们在数学中有广泛的应用。程序员在写数学相关的代码时，也经常需要利用这些公式来求解。