RD Sharma 第12类解决方案-第21章边界区域-练习21.4

此处介绍的是RD Sharma第12类解决方案中第21章"边界区域"的练习21.4。该章节旨在提高学生在三角学和直观几何方面的技能和能力。

练习21.4

题目：确定一个三角形的顶点，分别为A（-1,0），B（7,0）和C（4,5）。

1. 写出这个三角形的唯一内切圆的方程式并找到其圆心。

2. 找到这个三角形的三个内角的正弦值并确定它们的总和。

3. 通过求逆时针方向绕三角形顶点变化的角度来确定内角A，B，C。

解决方案

1. 我们可以通过求出三角形的三条边的中垂线来寻找唯一内切圆的圆心。首先，求出AB，BC和CA线段的中点，并求出这些线段的斜率。然后我们可以通过垂直斜率并通过一些代数运算来找到中垂线的方程。将两个中垂线相交以获得内切圆心。内切圆的方程式为：x²+y²-10x-10y+36=0，圆心为(5,5)。

2. 我们可以使用余弦公式来计算内角。为了计算正弦，我们可以使用三角形的面积公式，然后将它与斜边乘以半周长进行组合。使用这些公式和三角形的坐标，我们可以得出三个内角的正弦值。内角A的正弦为0.807，内角B的正弦为0.807，内角C的正弦为0.926。三个内角的总和为2.54。

3. 内角A，B，C分别在顶点A，B，C上，因此我们可以通过计算顶点之间的夹角来找到它们。一些三角函数的使用将有助于计算这些角度。内角A的角度为117.6°，内角B的角度为60°，内角C的角度为82.4°。

代码实现

这里提到的解决方案可以通过各种编程语言来实现，但这可能需要数学库（如numpy或math）进行三角函数和其他数学操作。以下是一个基于Python的例子：

import math

# 三角形的坐标
A = (-1,0)
B = (7,0)
C = (4,5)

# 中点
A_Bx = (A[0] + B[0])/2
A_By = (A[1] + B[1])/2
B_Cx = (B[0] + C[0])/2
B_Cy = (B[1] + C[1])/2
C_Ax = (C[0] + A[0])/2
C_Ay = (C[1] + A[1])/2

# 斜率
AB_slope = (B[1] - A[1])/(B[0] - A[0])
BC_slope = (C[1] - B[1])/(C[0] - B[0])
CA_slope = (A[1] - C[1])/(A[0] - C[0])

# 中垂线方程
A_B_perp_slope = -1/AB_slope
B_C_perp_slope = -1/BC_slope
C_A_perp_slope = -1/CA_slope

# 内切圆方程
AA_B_perp_intercept = A_By - A_B_perp_slope*A_Bx
BB_C_perp_intercept = B_Cy - B_C_perp_slope*B_Cx
CC_A_perp_intercept = C_Ay - C_A_perp_slope*C_Ax

AB_perp_intersect_x = (AA_B_perp_intercept - BB_C_perp_intercept)/(B_C_perp_slope - A_B_perp_slope)
AB_perp_intersect_y = A_B_perp_slope*AB_perp_intersect_x + AA_B_perp_intercept

BC_perp_intersect_x = (BB_C_perp_intercept - CC_A_perp_intercept)/(C_A_perp_slope - B_C_perp_slope)
BC_perp_intersect_y = B_C_perp_slope*BC_perp_intersect_x + BB_C_perp_intercept

CA_perp_intersect_x = (CC_A_perp_intercept - AA_B_perp_intercept)/(A_B_perp_slope - C_A_perp_slope)
CA_perp_intersect_y = A_B_perp_slope*CA_perp_intersect_x + AA_B_perp_intercept

x = AB_perp_intersect_x
y = AB_perp_intersect_y
r = math.sqrt((x-5)**2 + (y-5)**2)

# 内角的计算
AB_length = math.sqrt((B[1] - A[1])**2 + (B[0] - A[0])**2)
BC_length = math.sqrt((C[1] - B[1])**2 + (C[0] - B[0])**2)
CA_length = math.sqrt((A[1] - C[1])**2 + (A[0] - C[0])**2)

s = (AB_length + BC_length + CA_length)/2

inner_angle_A = math.acos((AB_length**2 + CA_length**2 - BC_length**2)/(2*AB_length*CA_length))
inner_angle_B = math.acos((AB_length**2 + BC_length**2 - CA_length**2)/(2*AB_length*BC_length))
inner_angle_C = math.acos((BC_length**2 + CA_length**2 - AB_length**2)/(2*BC_length*CA_length))

sin_A = (math.sin(inner_angle_A)*BC_length)/(2*r*s)
sin_B = (math.sin(inner_angle_B)*CA_length)/(2*r*s)
sin_C = (math.sin(inner_angle_C)*AB_length)/(2*r*s)

total_sin = sin_A + sin_B + sin_C

# 内角的计算
AB_angle = math.atan(AB_slope)
BC_angle = math.atan(BC_slope)
CA_angle = math.atan(CA_slope)

if AB_angle < 0:
    AB_angle += math.pi

if BC_angle < 0:
    BC_angle += math.pi

if CA_angle < 0:
    CA_angle += math.pi

inner_angle_A = math.pi - (AB_angle + CA_angle)
inner_angle_B = math.pi - (AB_angle + BC_angle)
inner_angle_C = math.pi - (BC_angle + CA_angle)

以上便是练习21.4的RD Sharma第12类解决方案。希望这篇介绍对你有所帮助！