盖特西卡(Geethika)每天用4杯水煮2杯米。有一天，当一些客人拜访她的房子时，她需要煮6杯米饭。她需要煮多少杯水才能煮6杯米饭?我们在日常生活中遇到了许多这样的情况，其中我们观察到一个数量的变化带来了另一个数量的变化。例如，
- 如果40包的重量是35.17 Kg，那么20包的重量是多少?显然，20个食物包的重量更轻。
- 如果我们将更多的钱存入银行，您如何看待所赚取的利息?当然，赚取的利息也会更多。
- 如果有更多的顾客，那么售出的商品总数会如何?显然，售出的物品总数将会增加。
- 如果有更多的工人，那么完成一项任务所花费的总时间会怎样?无疑，与更多的工人相比，它花费的时间更少。
在以上示例中，我们可以观察到一个数量的变化导致另一个数量的变化。因此，要帮助Geethika，我们需要研究某些类型的变体。
直接比例
在学校周年纪念之际，学校的校长决定种植一棵小树苗。下表以表格的形式给出了每个班级的学生人数。
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Class |
VI |
VII |
VIII |
IX |
X |
|---|---|---|---|---|---|
|
Number of Students |
7 |
10 |
11 |
14 |
17 |
每个学生必须种植两个树苗。找到每个班级种植所需的树苗数量。
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Class |
VI |
VII |
VIII |
IX |
X |
|---|---|---|---|---|---|
|
Number of Students |
7 |
10 |
11 |
14 |
17 |
|
Number of Saplings required |
14 |
20 |
22 |
28 |
34 |
关于所需的树苗数量，您能说什么?您观察到学生人数和所需树苗数量发生了怎样的变化?两者都增加或都减少。
number of saplings required 14 20 22 2
———————————— = —– = —– = —– = ………. = —– = 2
number of students 7 10 11 1
在这里，2是一个常数，称为 比例常数。 由于比率相同，我们将此变化称为直接比例。如果x和y是任意两个量，以使它们都一起增加或减少并且x / y保持恒定(例如k)，那么我们说x和y处于直接比例。这写为x y ，读为x与y成正比。
∴ (x/y) = k —-> x = ky where k is constant of proportion
∴同样，如果y1和y2是分别对应于x的x1和x2的y值，则
x1 x2
—– = —–
y1 y2
现在，让我们帮助我们的朋友Geethika查找煮6杯米饭所需的杯水总数。如前所述，Geethika用4杯水煮2杯米。
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Number of cups of rice |
2 |
6 |
|---|---|---|
|
Number of cups of water |
4 |
12 |
在此可以看出，所需的水的杯数随着米的杯数的增加而增加。
number of cups of water 4 12 2
——————————– = —– = —– = —–
number of cups of rice 2 6 1
在这种情况下，2是比例常数。在此，水的杯数和米的杯数这两者是成正比的。
number of cups of water ∝ number of cups of rice
现在让我们解决一些示例问题，
例子
示例1：10 m高的垂直杆投下20 m长的阴影。找出在类似条件下投射80 m长阴影的另一个杆的高度吗?
解决方案：
阴影的长度与杆的高度成正比。
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Height of Pole |
10 |
? |
|---|---|---|
|
Length of Shadow |
20 |
80 |
So, (x1 / y1) = (x2 / y2). Here, x1 = 10m y1 = 20m x2 = ? and y2 = 80m.
Upon substituting the values,
(10 / 20) = (x2 / 80)
x2 = (10 x 80) / 20
x2 = 40m
Therefore, the height of another pole is x2 = 40m.
示例2：如果50m的布料成本为Rs。 1500，那么那块10m的布的成本是多少?
解决方案：
布的成本与布的长度成正比。
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Length of cloth |
50m |
10m |
|---|---|---|
|
Cost of cloth |
₹1500 |
? |
So, (x1 / y1) = (x2 / y2). Here, x1 = 50m y1 = Rs.1500 x2 = 10m y2 = ?
Upon substituting the values,
(50 / 1500) = (10 / y2)
y2 = (10 x 1500) / 50
y2 = 300
Therefore, the cost of 10m cloth is Rs.300
范例3 ：以下是汽车站附近的停车场收费。
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Number of Hours (x) |
Parking Charges (y) |
|---|---|
|
up-to 4 hours |
Rs.40 |
|
up-to 8 hours |
Rs.80 |
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up-to 12 hours |
Rs.120 |
|
up-to 24 hours |
Rs.240 |
检查停车费和停车时间是否成正比?
解决方案：
We can observe that the parking charges (y) increase with the increase in the number of hours (x). Let’s calculate the value of (x / y). If it is a constant, then they are in direct proportion. Otherwise, they are not in direct proportion.
x 4 8 12 24 1
—– = —– = —– = —– = —– = —–
y 40 80 120 240 10
Here, (1 / 10) is constant and is called the constant of proportion. You can easily observe that all these ratios are equal. So they are in Direct Proportion.
示例4：如果35个相同大小的米袋的成本为Rs。 28,000。相同种类的100个米袋的价格是多少?
解决方案：
我们知道，如果购买的米袋数量增加，那么成本也会增加。因此，米袋的成本直接取决于所购买米袋的数量。
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Number of rice bags (x) |
35 |
100 |
|---|---|---|
|
Cost (y) |
Rs. 28,000 |
? |
So, (x1 / y1) = (x2 / y2) Here x1 = 35 y1 = Rs. 28000 x2 = 100 y2 = ?
Upon substituting the values,
(35 / 28000) = (100 / y2)
y2 = (100 * 28000) / 35
y2 = 80,000
Therefore, the cost of 100 rice bags of the same size is y2 = Rs. 80,000
反比例
包裹公司有一定数量的包裹要交付。如果公司雇用36人，则需要12天。如果只有18个人，则需要24天才能完成任务。您看到人数减少了一半，花费的时间增加了一倍，如果公司聘用72名员工，花费的时间会减少一半吗?是的。让我们看一下桌子
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Number of Persons |
36 |
18 |
9 |
72 |
108 |
|---|---|---|---|---|---|
|
Time Taken |
12 |
24 |
48 |
6 |
4 |
公司要在一天之内交付包裹，应雇用多少人?
两个数量的变化方式是，如果一个数量增加，另一数量以相同的比例减少，反之亦然，这称为反比例。在上面的示例中，参与人数和天数成反比。象征性地表示为
1
number of days required ∝ ———————————-
number of persons engaged
如果x和y成反比，则x ∝(1 / y)
x = k / y —-> xy = k where k is constant of proportionality
如果y1和y2是分别对应于x的x1和x2的y值，则
x1 x2
—- = —- or x1y1 = x2y2 ( = k )
y1 y2
例子
示例1：如果36名工人可以在12天内建造一堵墙，那么16名工人要花多少天才能建造同一堵墙? (假设每天的工作时间是恒定的)
解决方案：
如果工人人数减少，则建造隔离墙的时间将以相同的比例增加。显然，工人的数量与天数成反比。
因此，这里x1y1 = x2y2 ，其中x1 = 36个工人x2 = 16个工人，y1 = 12天y2 =(?)天
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No. of Workers |
No. of days |
|---|---|
|
36 |
12 |
|
16 |
y2 |
Since the number of workers are decreasing
36 ÷ x = 16 –> x = 36 / 16
So the number of days will increase in the same proportion i.e,
(36 / 16) * 12 = 27 days
Substitute, (36 / 16) = (y2 / 12) —> y2 = (12 * 36) / 16 = 27 days.
Therefore 16 workers will build the same wall in 27 days.
示例2：汽车以60 km / h的速度行驶需要4个小时才能到达目的地。如果汽车以80 Km / h的速度行驶需要多长时间?
解决方案：
随着速度的增加，花费的时间也以相同的比例减少。因此，对于相同的距离，时间消耗与车辆的速度成反比。
方法1
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Speed |
Time |
|---|---|
|
60 |
4 |
|
80 |
x |
(60 / 80) = (x / 4)
60 x 4 = (80 x x)
x = (60 x 4) / 80 = 3hrs.
方法2
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Speed |
Time |
|---|---|
|
60 |
4 ÷ x |
|
80 |
y |
(60)(x) = 80 and 4 ÷ x = y
x = 80 / 60
4 ÷ (80 / 60) = y
y = (4 x 60) / 80 = 3hrs.
Therefore, the time taken to cover the distance at a speed of 80 Km/h is 3hrs.
示例3：在1小时40分钟内需要6个泵来填充一个水箱。如果仅使用10个相同类型的泵，将花费多长时间?
解决方案：
让填充水箱的所需时间为x分钟。因此，我们有下表。
|
Number of pumps |
6 |
10 |
|---|---|---|
|
Time (in minutes) |
100 |
x |
The lesser the number of pumps more will be the time required to fill the tank.
So, this is a case of inverse proportion.
Hence, (100)(6) = (x)(10) [x1 y1 = x2 y2]
or (100 x 6) / 10 = x
or x = 60 minutes
Thus, time taken to fill the tank by 10 pumps is 60 minutes or 1 hour.
示例4：一所学校每天有7个时段，每个时段持续45分钟。如果学校每天有5个学期，每个学期将变成多长时间? (假设上课时间相同)
解决方案：
令每个周期的期望持续时间为x分钟。因此，我们有下表。
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Number of periods |
7 |
5 |
|---|---|---|
|
Time for each period (in minutes) |
45 |
x |
The lesser the number of periods a day, the more will be the duration of each period.
so, this is a case of inverse proportion.
Hence, (7)(45) = (x)(5) [x1 y1 = x2 y2]
or (7 x 45) / 5 = x
or x = 63 minutes
Thus, time duration of each period if the school has 5 periods a day is 63 minutes or 1 hour 3minutes.