标准代数恒等式|八级数学

代数恒等式是代数方程式，对于变量中的每个值始终都是正确的。对其中所有变量值均有效的代数方程式称为代数恒等式。它用于多项式的因式分解。这样，在计算代数表达式和求解不同的多项式时就使用了代数恒等式。它们在多项式(即LHS和RHS)的两边都包含变量和常数。在代数身份中，LHS必须等于RHS。

什么是身份?

考虑等式(x + 1)(x +2)= x ² + 3x +2。一个人可以为a的某个值求等式的两端，例如x =5。对于x = 5，

• LHS =(x +1)(x + 2)=(5 +1)(5 + 2)= 6×7 = 42
• RHS = x ² + 3x + 2 = 5 ² + 3×5 + 2 = 25 + 15 + 2 = 42

因此，对于a = 5，等式两侧的值相等。可以发现，对于x的任何值， LHS = RHS 。对于变量中的每个值都适用的这种相等性称为Identity 。因此，(x +1)(x + 2)= x ² + 3x + 2是恒等式。

标准身份

所有标准代数恒等式均来自二项式定理。代数身份的数目很多，但下面列出的标准身份很少。

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² + b² – 2ab
• (a + b)(a – b) = a² – b²
• (a + b)³=a³ + b³ + 3ab(a + b)
• (a – b)³=a³ – b³ – 3ab(a – b)
• (a + b + c)²=a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

解决身份的方法

• 我们可以通过替代方法来验证代数恒等式，在该方法中，我们可以将值放在可变的位置，并尝试使两边相等。即LHS = RHS。

例子：

(a – 2) (a + 2) = a² – 2²

Now we will start putting value in place of a.

starting with a = 1, (-1) x (3) = -3

then we will put a = 2, 0 x 4 = 0

Here we got a = 1 and a = 2 as the value which satisfy the given question.

• 另一种方法是通过操纵通常使用的身份：

i. (a + b)² = a² + b² + 2ab       

ii. (a – b)² = a²+ b² – 2ab     

iii. (a + b)(a – b) =a² – b²     

iv. (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

证明：

i. (a + b)² = (a + b) (a + b)

                = (a + b) (a) + (a + b) (b)

                = a² + ab + ab + b²

                = a² + 2ab + b²

Hence, LHS = RHS.

ii. (a – b)² = (a – b) (a – b)

                = (a – b) (a) + (a – b) (b)

                = a² – ab – ba + b²

                = a² – 2ab + b²

Hence, LHS = RHS.

iii. (a + b) (a – b) = a (a – b) + b (a – b)

                            = a² – ab + ab – b²

                            = a² – b²

Hence, LHS = RHS.

应用身份

示例1：使用代数恒等式求解(2x + 3)(2x – 3)?

解决方案：

By the algebraic identity (a + b)(a – b) = a² – b² 

We can  re-write the given expression as

(2x + 3) (2x – 3) = (2x)² – (3)² = 4x²– 9

示例2：使用代数恒等式求解(3x + 5) ^2吗?

解决方案：

By algebraic identity

(a + b)² = a² + b² + 2ab   

We can re-write the given expression as;

(3x + 5)² = (3x)² + 2(3x)5 + 5²

(3x + 5)² = 9x ² + 30x + 25

示例3：使用标准代数恒等式求(x + 1)(x + 1)的乘积?

解决方案：

(x + 1)(x + 1) can be written as (x + 1)². Thus, it is of the standard form I where a = x and b = 1. 

We have,

(x + 1)² = (x)² + 2(x)(1) + (1)² = x ² + 2x + 1

示例4：使用标准代数恒等式展开(3x – 4y) ^3吗?

解决方案：

(3x – 4y)³ is of the standard form VII where a = 3x and b = 4y. 

We have,

(3x – 4y)³ = (3x)³ – (4y)³ – 3(3x)(4y)(3x – 4y) = 27x ³ –  64y ³ – 108x²y + 144xy ²