门 | GATE-CS-2016(Set 2)|问题19

这道问题涵盖了计算机科学中的图论和基本算法。让我们来看看这个问题的环境和意义。

问题描述

我们有一个无向图，其中每个节点都有一个关联的权重。从某个节点出发，我们要找到一个路径，使得这条路径的权重总和最小，并且这条路径不能包含任何负权值的环路。你需要实现一个函数来解决这个问题。

思路

在解决这个问题之前，让我们确定一些重要的概念和方法：

1. Bellman-Ford算法：这是解决单源最短路径问题的一种常用算法。它可以处理图中存在负边权的情况，并给出最短路径的长度。
2. 拓扑排序：如果一幅有向图是无环的，那么这幅图肯定可以进行拓扑排序。拓扑排序即把图中的所有节点按照它们之间的依赖关系排序，然后依次遍历这些节点。拓扑排序可以用于解决上述问题中的负权环路问题。

综上所述，我们可以使用Bellman-Ford算法求出单源最短路径。接下来，我们需要检查图中是否存在负权环路。如果存在，则没有符合要求的路径。如果不存在，则可以使用拓扑排序来检查路径是否合法。

为了避免重复计算，我们可以在求最短路径时记录每个节点的后继节点，这样再进行路径重建时会更加高效。

代码

class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.graph = []
 
    def add_edge(self, u, v, w):
        self.graph.append([u, v, w])
 
    def bellman_ford(self, src):
        dist = [float("Inf")] * self.V
        dist[src] = 0
        pred = [-1] * self.V
 
        for i in range(self.V - 1):
            for u, v, w in self.graph:
                if dist[u] != float("Inf") and dist[u] + w < dist[v]:
                    dist[v] = dist[u] + w
                    pred[v] = u
 
        for u, v, w in self.graph:
            if dist[u] != float("Inf") and dist[u] + w < dist[v]:
                return None   # 存在负权环路
 
        return pred
 
    def is_valid_path(self, src, dest, pred):
        visited = [False] * self.V
        visited[src] = True
        
        while pred[dest] != -1:
            if visited[dest]:
                return False
            
            visited[dest] = True
            dest = pred[dest]
 
        return True
 
    def find_shortest_path(self, src, dest):
        pred = self.bellman_ford(src)
 
        if pred is None:
            return None
        
        if self.is_valid_path(src, dest, pred):
            path = [dest]
            while pred[dest] != -1:
                path.append(pred[dest])
                dest = pred[dest]
 
            return list(reversed(path))
 
        return None

这里我们使用了一个Graph类，其中定义了三个方法：

1. add_edge(u, v, w)：向图中添加一条新的边
2. bellman_ford(src)：使用Bellman-Ford算法求出单源最短路径，并返回每个节点的前驱节点
3. find_shortest_path(src, dest)：找到一个路径使得该路径总权重最小，并且该路径上不包含任何负权值的环路

在 bellman_ford(src) 方法中，我们首先将所有节点的最短距离初始化为最大值，并将原点的最短距离初始化为0。接下来，我们针对每一条边进行松弛操作，即判断是否存在一条更短的路径。如果存在，则进行更新。最后，我们再次遍历每一条边，以检查是否存在负权环路。

在 find_shortest_path(src, dest) 方法中，我们首先使用Bellman-Ford算法求出每个节点的前驱节点。接下来，我们使用 is_valid_path(src, dest, pred) 方法来判断这条路径是否合法。如果合法，则可以使用前驱节点列表 pred 来重建该路径。

以上就是本题的解题思路及对应实现。