门 | GATE-CS-2016(Set 1) | 问题3

这是GATE-CS-2016(Set 1)考试的第3个问题，要求编写一个程序，该程序从标准输入中读取一个非负整数n，然后读取n个数字，并确定这些数字能否被分成两个集合，以使这两个集合的和相同。如果它们可以被分成两个等和子集，则输出YES，否则输出NO。

思路

首先，我们可以计算给定数字集合的总和。如果这个数字总和是奇数，那么它们无法被平均分成两部分，并且输出“NO”。如果它是偶数，那么我们就需要尝试将它们分成两部分，以使它们的和相等。为了实现这一点，我们可以使用动态规划算法。

为了更好地理解动态规划的解决方案，请考虑以下问题：假设有给定的数字集合[1, 5, 11, 5]。这些数字的总和为22。我们需要找到一种方法，使得这些数字可以被分成两个相等的子集。我们可以从数字元素的最后一项开始解决这个问题。

我们可以构建一个bool类型的二维数组dp，其中dp [i] [j]表示一个集合中的数字是否可以加和为j。

dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i-1][j-arr[i-1]];

此动态规划递归方程表示第i个元素可以加入子集之一或另一个子集之中。

代码

下面是可以解决这个问题的代码（使用C++）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 函数来判断是否可以分成两个相等的子集
bool canPartition(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size(), sum = 0;
    for(int num: nums){
        sum += num;
    }
    if(sum & 1){
        return false;      // 总和为奇数，无法分成两个相等子集
    }
    sum /= 2;                 // 所求子集和为总和一半
    vector<bool> dp(sum + 1, false);
    dp[0] = true;            // 使用一项都不用，子集和为0

    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = sum; j > 0; j--){
            if(j >= nums[i]){
                dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
            }
        }
    }
    return dp[sum];
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> nums(n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>nums[i];
    }
    if(canPartition(nums)){
        cout<<"YES\n";  
    } 
    else{
        cout<<"NO\n";
    }
    return 0;
}

总结

这是一个简单但非常有趣的问题，需要我们使用动态规划方式解决。考虑到计算“子集之和”的问题，我们需要为这个数组中的每一个“子集”构建一个DP状态。当我们计算最终状态时，如果出现dp [n] [W]=true，则可分成两个相等的子集，并输出“YES”。否则，我们无法将这个集合分成两个相等子集，输出“NO”。