门 | GATE MOCK 2017 | 问题18

这是一道GATE MOCK 2017的编程题，需要使用动态规划算法解决。题目描述如下：

有n个门，每扇门只能通过其上方的砖块进入。其中第1扇门最初是开着的，第n扇门最终也需要开启，其他的门可以打开或关闭。在每个门上方的砖块有不同的重量，如果一个门是关闭的，则该门上方的砖块不能再次使用。

假设每个门的高度均相同，而每个门上方的砖块可以通过不同的加入方法使其达到所需高度。现在给出每个门上方的砖块的重量，以及加入每扇门所需的砖块的集合。

请编写程序，找到使第n扇门打开的方案中最大的砖块重量总和。

接下来，我们将逐步讲解如何解决这个问题。

题目分析

给定任意两个门的编号p和q，我们将它们之间的门称为“障碍物”。在这个问题中，如果一个门是关闭的，我们将其视为一个障碍物。

因此，我们可以根据障碍物情况来定义状态。

假设状态f（i，j）表示到第i个门为止，第i个门当前关闭，且第i+1到第j-1个门都是开着的，第j个门也必须开启，所需的最大砖块重量总和。

根据这个定义，我们可以方便地定义状态转移方程。

状态转移方程

1. 当i=j时，f(i,j)=0，这是一个初始状态。

2. 当i<j时:

   • 如果第i个门已经开着，f(i,j)=f(i+1,j)，第i个门不需要再次考虑。
   • 如果第i个门关闭，f(i,j)=Maxwi+f(i+1，k)+f(k+1，j)，其中k为i+1到j-1之间的任意一个门。在这种情况下，我们需要从所有可能的门之间的分裂中选择最小重量总和。

由此，我们可以使用以下代码实现状态转移方程：

dp = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
for len in range(2, n+1):
    for i in range(n-len+1):
        j = i + len -1
        if (j-i+1)==2:
            dp[i][j] = 0
        else:
            tmp = 10**9
            for k in range(i+1, j):
                val = dp[i][k] + dp[k][j] + weights[j]-weights[i]-2
                tmp = min(tmp, val)
            dp[i][j] = tmp

返回值

最后，我们需要返回f（1，n）的值。

return dp[0][n-1]

总结

这道题是一道经典的动态规划问题，需要考虑问题的障碍物和可能的分割。状态转移方程的实现可能比较复杂，需要仔细思考。