GATE-CS-2017 (Set-2) | 问题18

本题是关于排序算法的实现和时间复杂度分析的。

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $A$，要求使用归并排序算法对其进行降序排序。请编写一个 Python 函数，它以 $A$ 为输入，并返回排序后的数组 $A$。

函数定义如下：

def merge_sort_descending(A):
    """
    对给定数组 A 进行降序排序并返回排序后的数组。
    
    :param A: 待排序的数组
    :type A: list of int
    :return: 排序后的数组
    :rtype: list of int
    """
    pass

实现思路

归并排序是一种稳定的排序算法，它的时间复杂度为 $O(n\log{n})$，其中 $n$ 为待排序数组的长度。归并排序的思路是将待排序数组不断拆分成小的子数组，然后对这些子数组进行排序，再将其合并成有序的大数组。具体过程如下：

1. 将待排序数组 $A$ 平均分为两半，分别得到左半部分 $L$ 和右半部分 $R$。
2. 对 $L$ 和 $R$ 分别进行递归排序，得到排序后的子数组 $L'$ 和 $R'$。
3. 将 $L'$ 和 $R'$ 合并为有序数组 $M$，并返回 $M$。

为了实现降序排序，我们可以在合并两个有序数组时，将较大的元素放在前面。因此，需要修改归并排序中的合并操作，具体如下：

def merge_descending(A, p, q, r):
    """
    合并以 p~q 和 q+1~r 为下标范围的两个有序数组，得到以 p~r 为下标范围的有序数组。
    
    :param A: 待合并的数组
    :type A: list of int
    :param p: 开始下标
    :type p: int
    :param q: 中间下标
    :type q: int
    :param r: 结束下标
    :type r: int
    :return: None
    """
    n1 = q - p + 1
    n2 = r - q

    L = [0] * (n1 + 1)
    R = [0] * (n2 + 1)

    for i in range(n1):
        L[i] = A[p + i]
    L[n1] = float('-inf')

    for i in range(n2):
        R[i] = A[q + 1 + i]
    R[n2] = float('-inf')

    i = 0
    j = 0

    for k in range(p, r + 1):
        if L[i] >= R[j]:
            A[k] = L[i]
            i += 1
        else:
            A[k] = R[j]
            j += 1

Python 代码实现

def merge_sort_descending(A):
    """
    对给定数组 A 进行降序排序并返回排序后的数组。
    
    :param A: 待排序的数组
    :type A: list of int
    :return: 排序后的数组
    :rtype: list of int
    """
    def merge_descending(A, p, q, r):
        """
        合并以 p~q 和 q+1~r 为下标范围的两个有序数组，得到以 p~r 为下标范围的有序数组。
        
        :param A: 待合并的数组
        :type A: list of int
        :param p: 开始下标
        :type p: int
        :param q: 中间下标
        :type q: int
        :param r: 结束下标
        :type r: int
        :return: None
        """
        n1 = q - p + 1
        n2 = r - q

        L = [0] * (n1 + 1)
        R = [0] * (n2 + 1)

        for i in range(n1):
            L[i] = A[p + i]
        L[n1] = float('-inf')

        for i in range(n2):
            R[i] = A[q + 1 + i]
        R[n2] = float('-inf')

        i = 0
        j = 0

        for k in range(p, r + 1):
            if L[i] >= R[j]:
                A[k] = L[i]
                i += 1
            else:
                A[k] = R[j]
                j += 1

    def merge_sort_descending_helper(A, p, r):
        """
        归并排序的辅助函数，递归地对 A[p..r] 进行排序。
        
        :param A: 待排序的数组
        :type A: list of int
        :param p: 开始下标
        :type p: int
        :param r: 结束下标
        :type r: int
        :return: None
        """
        if p < r:
            q = (p + r) // 2
            merge_sort_descending_helper(A, p, q)
            merge_sort_descending_helper(A, q + 1, r)
            merge_descending(A, p, q, r)

    merge_sort_descending_helper(A, 0, len(A) - 1)
    return A

时间复杂度分析

归并排序的时间复杂度为 $O(n\log{n})$，其中 $n$ 为待排序数组的长度。归并排序的时间复杂度分析可以使用主方法 (master theorem) 进行，具体可参考 CLRS 计算机算法导论 一书中的第二章内容，这里不再赘述。