没有给定点的最大矩形的面积

对于给定的 01 矩阵，求出没有给定点的最大矩形的面积。

本问题可以使用单调栈算法进行求解。

算法思路

假设我们已经求出了每一行中每个位置往上连续 1 的个数（也就是每一行的高度）。那么问题就转化成了：给定一个柱状图，求其最大矩形面积。

可以使用单调栈算法进行求解：

1. 构造一个栈，用来存储柱子的下标。
2. 遍历每个柱子，当栈为空或当前柱子的高度大于等于栈顶柱子的高度时，将当前柱子的下标入栈；否则就一直弹出栈顶，直到栈为空或当前柱子的高度大于等于栈顶柱子的高度，每次弹出栈顶时计算以该柱子高度为矩形高度的最大矩形面积，并将最大值更新。
3. 遍历结束后，若栈非空，则针对栈中每个柱子，以该柱子高度为矩形高度，宽度为矩形最右侧柱子的下标减去该柱子左侧柱子的下标，计算最大矩形面积，并将最大值更新。

代码实现

def largestRectangleArea(heights: List[int]) -> int:
    stack = []
    ans = 0
    heights.append(0)  # 加上一个高度为 0 的柱子，确保所有柱子都可以被处理到
    for i in range(len(heights)):
        while stack and heights[i] < heights[stack[-1]]:
            h = heights[stack.pop()]
            w = i if not stack else i - stack[-1] - 1
            ans = max(ans, h * w)
        stack.append(i)
    return ans

def maximalRectangle(matrix: List[List[str]]) -> int:
    if not matrix:
        return 0
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    heights = [0] * n  # 初始化每个柱子的高度
    ans = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == '1':
                heights[j] += 1
            else:
                heights[j] = 0
        area = largestRectangleArea(heights)
        ans = max(ans, area)
    return ans

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(mn)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵的行数和列数。对于每个元素，最多要遍历该元素上方的所有元素，因此总时间复杂度为 $O(mn)$。
• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是矩阵的列数。除了存储每个柱子的高度以外，空间复杂度为单调栈占用的空间，即最多为 $O(n)$。