无回文子字符串的长度为N的字符串数

在计算机科学中，回文指的是可从前往后、从后往前读都相同的字符序列，例如“racecar”。而无回文子字符串的长度为N的字符串数，指的是长度为N的字符串中，不包含任何回文子字符串的数量。这个问题在计算机科学中是一个经典的问题，有多种解法。

解法一：动态规划

动态规划是一种解决问题的思想，一般用于求解最优化问题。对于本问题，可以使用动态规划算法来解决。

设 f[i] 表示长度为 i 的字符串中无回文子字符串的数量，则有以下递推式：

f[i] = f[i-1] + f[i-2] (i > 2)
f[1] = 1
f[2] = 2

解释如下：

• 当 i > 2 时，我们可以在长度为 i-1 的字符串的末尾添加一个字符得到长度为 i 的字符串，此时 f[i] 的数量为 f[i-1]。而如果我们在长度为 i-2 的字符串的末尾添加两个不同的字符，也可以得到一个长度为 i 的字符串，并保证不会出现回文子字符串，此时 f[i] 的数量为 f[i-2]。因此，f[i] = f[i-1] + f[i-2]。
• 当 i = 1 时，只有一个字符，其本身即为无回文子字符串，因此 f[1] = 1。
• 当 i = 2 时，我们有两种选择：添加两个不同的字符或者添加两个相同的字符。因此 f[2] = 2。

下面是 Python 代码实现：

def count_no_palindrome_substrings(n: int) -> int:
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    pre, cur = 1, 2
    for i in range(3, n+1):
        pre, cur = cur, pre + cur
    return cur

上述代码的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。因为我们只需要保存 f[i-1] 和 f[i-2] 两个变量的值。

解法二：组合数学

另一种解决本问题的思路是使用组合数学的方法。

对于一个长度为 N 的字符串，我们可以从中选出 k 个不相邻的字符组成新的字符串，这个新字符串就是一个长度为 k 的无回文子字符串。因此，首先应该计算出所有长度为 k 的无回文子字符串的数量，然后将它们相加即可得到长度为 N 的字符串中无回文子字符串的数量。

考虑长度为 k 的无回文子字符串的情况：

• 如果 k 为奇数，中间必须是一个字符，将 k-1 个字符分为两组，每组有 (k-1)/2 个字符，第 i 个字符和第 k-i 个字符必须不在同一组内，因此第一组有 k/2 个字符可选，第二组有 k/2-1 个字符可选。因此，长度为 k 的无回文子字符串的数量为 k/2*(k/2-1)^(k/2-1)。其中 ^ 表示幂运算。
• 如果 k 为偶数，将 k 个字符分为两组，每组有 k/2 个字符，第 i 个字符和第 k-i+1 个字符必须不在同一组内，因此每组有 (k/2)^(k/2-1) 个字符可选。因此，长度为 k 的无回文子字符串的数量为 (k/2)^(k/2)*(k/2-1)^(k/2-1)。

下面是 Python 代码实现：

def count_no_palindrome_substrings(n: int) -> int:
    res = 0
    for i in range(1, n+1):
        if i % 2 == 1:
            res += i // 2 * ((i-1) // 2)**((i-1) // 2)
        else:
            res += (i // 2)**(i // 2) * ((i // 2) - 1)**((i // 2) - 1)
    return res

上述代码的时间复杂度为 O(N^2)，空间复杂度为 O(1)。因为我们只需要保存一个变量 res。

总结

本文介绍了两种解决无回文子字符串的长度为 N 的字符串数的方法，它们分别是动态规划和组合数学。值得注意的是，虽然这两种方法的时间复杂度相差很大，但是由于本问题中 N 的范围较小，因此两种方法的时间复杂度都是可以接受的，具体应该选择哪一种方法，需要根据实际场景进行选择。