通过最多反转一个子阵列来最大化非递减子序列的长度

介绍

在计算机科学和数学中，非递减序列（non-decreasing sequence）是指序列的项逐渐变得大或保持不变的数学对象。考虑一个数组，你可以对它进行最多一次反转，即选择某一个区间并将这个区间中的元素反转。设计一个算法，返回对数组最多可以进行两次操作后的最长上升子序列的长度。

此题可以使用动态规划来解决。我们使用两个数组$dp1$和$dp2$，其中$dp1[i]$表示以第$i$个元素结尾的最长上升子序列的长度（无需反转操作），$dp2[i]$表示以第$i$个元素结尾的最长上升子序列的长度（至多只进行一次反转操作）。最终的答案就是两个数组中的最大值。

算法实现

def max_length(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp1, dp2 = [1] * n, [1] * n

    # 计算dp1
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                dp1[i] = max(dp1[i], dp1[j] + 1)

    # 计算dp2
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[i] >= nums[j]:
                dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j] + 1)
            if nums[i] >= nums[n - 1 - j]:
                dp2[i] = max(dp2[i], dp1[n - 1 - j] + 1)

    return max(dp1 + dp2) - 1

算法解析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，其中$n$为数组的长度。
• 空间复杂度：$O(n)$。

参考文献

[1] 通过最多反转一个子序列使得原序列单调递增的最长子序列长度