生成[L，R]范围内的元素的随机排列(分而治之)

当我们需要生成一个范围内的元素的随机排列时，可以使用分治的思想。其主要思路是将该范围不断分割成更小的子问题，直到问题规模足够小，然后合并子问题的解得到最终解。

算法流程

• 首先，将[L,R]范围内的元素不断对半分割，直到只剩下一个元素或者没有元素；
• 然后，将每个子问题的解随机合并起来，得到[L,R]范围内的随机排列。

算法实现

import random

def random_permutation(L, R):
   
   # 如果只有一个元素，则直接返回
    if L == R:
        return [L]
    
    # 如果只有两个元素，则随机返回其中一个
    if L+1 == R:
        return [L, R] if random.random() > 0.5 else [R, L]
    
    # 否则，将范围不断对半分割
    mid = (L+R)//2
    left_permutation = random_permutation(L, mid)
    right_permutation = random_permutation(mid+1, R)
    
    # 随机合并子问题的解
    permutation = []
    while len(left_permutation) > 0 and len(right_permutation) > 0:
        if random.random() > 0.5:
            permutation.append(left_permutation.pop())
        else:
            permutation.append(right_permutation.pop())
    permutation.extend(left_permutation[::-1])
    permutation.extend(right_permutation[::-1])
    return permutation

算法复杂度

该算法使用分治的思想，因此时间复杂度为 $O(nlogn)$ 。具体分析如下：

• 分割范围需要 $O(logn)$ 次；
• 每次分割需要 $O(n)$ 的时间复杂度，即每个元素最多需要比较 $logn$ 次；
• 合并子问题的解需要 $O(n)$ 的时间复杂度。

因此，该算法的时间复杂度为 $O(nlogn)$ 。

使用案例

>>> random_permutation(1, 5)
[4, 2, 3, 1, 5]
>>> random_permutation(1, 5)
[3, 4, 2, 1, 5]
>>> random_permutation(1, 5)
[5, 4, 1, 2, 3]

以上代码展示了使用该算法生成[L,R]范围内的随机排列的案例。