给定字符串中“GFG”子序列的计数

问题描述

给定一个字符串，计算其中“GFG”子序列出现的次数。

解决方案

使用动态规划算法解决该问题。

定义一个二维数组 dp[i][j] 表示在字符串的前 i 个字符中，“GFG”子序列出现了 j 次的方案数。

对于字符串中的每个字符，考虑以下两种情况：

1. 不选择该字符，此时“GFG”子序列的数量与前 i-1 个字符中的数量相同，即 dp[i][j] = dp[i-1][j]。
2. 选择该字符，此时“GFG”子序列会根据当前字符是否为“G”、“F”或“G”的位置产生不同的变化。具体地，当当前字符为：

• “G” 时，新的子序列数目等于前 i-1 个字符中“GF”子序列的数量，即 dp[i][j] += dp[i-1][j-1]。
• “F” 时，新的子序列数目等于前 i-1 个字符中“G”子序列的数量，即 dp[i][j] += dp[i-1][j]。
• “G” 且是第一个“G”时，新的子序列数目等于前 i-1 个字符中的总子序列数，即 dp[i][j] += dp[i-1][j]。

最后，目标值为 dp[n][3] 即为字符串中“GFG”子序列出现的次数。

代码实现

def count_gfg(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * 4 for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(4):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j > 0 and s[i-1] == 'G' and j <= 2:
                dp[i][j] += dp[i-1][j-1]
            elif s[i-1] == 'F' and j <= 3:
                dp[i][j] += dp[i-1][j-1]
            elif s[i-1] == 'G' and j == 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j]
    return dp[n][3]

代码中 dp[i][j] 表示的是前 i 个字符中“GFG”子序列出现了 j 次的方案数。其中，dp[0][0] = 1 表示初始状态为没有任何字符时，“GFG”子序列出现了 0 次，只有一种方案。

对于每个字符，依次更新 dp[i][j] 的值，最终返回 dp[n][3] 即为所求。

复杂度分析

该算法中需要遍历一遍字符串，时间复杂度为 $O(n)$。

由于需要开辟一个二维数组，空间复杂度为 $O(n)$。

总结

本文介绍了如何使用动态规划算法计算字符串中“GFG”子序列出现的次数。

相信通过本文的学习，您已经对动态规划有了更深入的了解。在实际编程中，本文提到的算法可以应用于计算其它子序列的数量，希望本文的内容能够对您有所帮助。