给定三个数字的出现次数相等的子数组

这个问题可以转化为：给定一个数组，从中选择连续的子数组，使得其中包含元素1、2、3的数目相等。那么如何寻找这个子数组呢？

一个简单的思路是暴力枚举所有可能的子数组，对于每个子数组判断是否满足条件，时间复杂度是$O(n^3)$。但是这显然是不可行的。

一个更加高效的算法是利用前缀和来处理。首先，我们定义一个计数器cnt，表示目前已经遍历到的数组中1、2、3的数目之差。具体来说，如果前i个元素中1的数目为c1，2的数目为c2，3的数目为c3，则计数器的值为cnt=c1-c2-c3。如果我们选取了一段区间[l,r]，那么这段区间中1、2、3的数目分别为$c1'=c1[l,r]$，$c2'=c2[l,r]$，$c3'=c3[l,r]$。如果[l,r]的长度为k，那么这段区间1、2、3的数目之和就是$k$。因此，如果[l,r]满足条件，即$c1'=c2'=c3'=k/3$，那么cnt也必须为0。即$c1'-c2'-c3'=0$。利用前缀和，我们可以在$O(n)$的时间复杂度内计算出所有的cnt的前缀和，表示前$i$个元素中1、2、3的数目之差，从而快速判断出[l,r]是否合法。

参考代码如下：

def count_subarrays(arr):
    cnt = [0]*3
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        cnt[arr[i]-1] += 1
    if cnt[0]!=cnt[1] or cnt[1]!=cnt[2]:
        return []
    cnt = [0]*3
    s = [0]*(n+1)
    for i in range(1,n+1):
        cnt[arr[i-1]-1] += 1
        p = cnt[0]-cnt[1]
        q = cnt[1]-cnt[2]
        r = cnt[2]
        s[i] = p-q-r
    left = {}
    res = []
    for i in range(n+1):
        if s[i] not in left:
            left[s[i]] = i
        if s[i]-s[0] in left and left[s[i]-s[0]]<i:
            res.append((left[s[i]-s[0]],i-1))
    return res

此代码的时间复杂度为$O(n)$，效率较高。