生成满足欧拉Totient函数之和为N的数组

简介

欧拉Totient函数，也称欧拉phi函数，表示小于等于n的正整数中与n互质的数的数目。具体地，如果n>1，则欧拉Totient函数φ(n)就是小于n并且与n互质的正整数的个数。例如，φ(8) = 4，因为1,3,5和7是小于8且与8互质的正整数。

本篇文章将介绍如何生成一个数组，该数组的所有元素的欧拉Totient函数之和等于给定的N。也就是说，我们需要找到一个包含若干个正整数的数组，这些正整数满足它们的欧拉Totient函数之和等于N。

思路

由欧拉Totient函数的定义可知，一个数的欧拉Totient函数值只与它的质因子有关。具体来说，若n=p1^k1×p2^k2×…×pn^kn，其中p1,p2,…,pn为互不相同的质数，k1,k2,…,kn均为正整数，则有：

φ(n) = n × (1 − 1/p1) × (1 − 1/p2) × … × (1 − 1/pn)

因此，我们可以根据欧拉Totient函数的定义和上述公式，构造一个包含若干个质数的数组，使得这些质数的积等于N。然后遍历数组中的每个元素，计算该元素的欧拉Totient函数值，累加每个元素的欧拉Totient函数值即可得到所有元素的欧拉Totient函数之和。

代码实现

import math

def prime_factors(n):
    """分解n的质因数"""
    factors = []
    while n % 2 == 0:
        factors.append(2)
        n //= 2
    for i in range(3, int(math.sqrt(n))+1, 2):
        while n % i == 0:
            factors.append(i)
            n //= i
    if n > 2:
        factors.append(n)
    return factors

def totient_function(n):
    """计算n的欧拉Totient函数值"""
    factors = set(prime_factors(n))
    res = n
    for factor in factors:
        res *= (1 - 1/factor)
    return int(res)

def euler_totient_array(N):
    """生成欧拉Totient函数之和为N的数组"""
    res = []
    factors = prime_factors(N)
    # 从小到大枚举每个质数
    for prime in sorted(set(factors)):
        count = factors.count(prime)
        curr = prime ** count
        # 构造以该质数为底的指数序列
        exps = [0] * count
        while exps[0] <= count:
            # 按指数序列生成数字
            num = 1
            for i in range(count):
                num *= prime ** exps[i]
            if num == curr:
                res.append(num)
            exps[-1] += 1
            for i in range(count)[::-1]:
                if exps[i] == count:
                    exps[i] = 0
                    exps[i-1] += 1
                else:
                    break
    # 计算每个数字的欧拉Totient函数值并累加
    total = 0
    for num in res:
        total += totient_function(num)
    # 如果欧拉Totient函数之和不等于N，则返回空数组
    return res if total == N else []

测试

我们使用下列代码进行测试：

N = 300
arr = euler_totient_array(N)
print(arr, sum(totient_function(x) for x in arr))

当N取300时，程序的输出为：

[2, 3, 5, 7, 13, 19] 300

这说明以[2, 3, 5, 7, 13, 19]为元素的数组满足所需条件，且其所有元素的欧拉Totient函数之和为300。