📅 最后修改于: 2023-12-03 15:10:57.603000 🧑 作者: Mango
欧拉 Totient 值，也被称为欧拉函数，是指小于等于一个正整数 n，且与 n 互质的正整数个数。用符号 φ(n) 表示。
例如，φ(8) 的值为 4，因为在小于等于 8 的正整数中，与 8 互质的有 1、3、5、7 四个。
对于一个正整数 n，如果 φ(n) = n - 1，那么 n 被称为欧拉质数，因为它的欧拉 Totient 值比自身小 1，也即不存在比它小且与它互质的正整数。
欧拉质数是一类比较特殊的质数，也非常稀有，目前已知的最大欧拉质数是 561_918_958_864_667_552_129。
判断一个数是否是欧拉质数，需要判断它是否是质数，并且是否满足 φ(n) = n - 1。
判断一个数是否是质数，可以使用传统的试除法、试除法与质数表相结合的方法，也可以使用更高效的素性检验算法，比如 Miller-Rabin 算法。
判断一个数的欧拉 Totient 值，可以使用欧拉降幂公式，其公式为：
φ(n) = n × (1 - 1/p1) × (1 - 1/p2) × ... × (1 - 1/pk)
其中，p1、p2、...、pk 是 n 的质因数。
以下示例代码演示了如何判断一个数是否是欧拉质数：
def is_euler_prime(n):
"""
判断一个数是否是欧拉质数
"""
if not is_prime(n):
return False
factors = prime_factors(n)
for p in factors:
if n % p == 0 and (n / p) % p == 1:
return False
return True
其中，is_prime 函数用于判断一个数是否是质数，prime_factors 函数用于求一个数的所有质因数。该函数的主要逻辑是依次检查该数的所有质因数是否符合欧拉条件。
如果主题所示的“欧拉 Totient 值比自身小 1”的定义是严格的（即必须不存在比该数小的与之互质的正整数），则使用 Miller-Rabin 算法判断质数更为妥当。