贝尔曼-福特算法介绍

简介

贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford algorithm）是一种用于求解单源最短路径的算法，可以处理有向图或负权边的情况。算法的基本思想是依次对图中的所有边进行松弛操作（如果存在一条从顶点u到顶点v的边，那么对于任意的边权w(u,v)，我们有d[v]<=d[u]+w(u,v)），如果经过一轮松弛操作后，每个顶点的最短路径已经求出，那么算法结束。

算法流程

1. 初始化：将除了起点之外的所有顶点的最短距离d设置为正无穷 (∞)，起点的最短距离d为0。
2. 对所有边进行一次松弛操作，即对于每条边(u,v)，如果d[u]+w(u,v)<d[v]，则更新d[v]=d[u]+w(u,v)，其中w(u,v)表示边(u,v)的权值。
3. 如果经过一轮松弛操作后，没有更新任何一个顶点的最短距离，则算法结束。
4. 否则重复步骤2-3。

如果图中存在从源点可达的负权回路，则算法会进入无穷循环。

代码实现

以下为C++实现的Bellman-Ford算法代码片段：

const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge {
    int u, v, w;
};

Edge edges[M];
int d[N]; // d[i]表示从源点s到i的最短距离

void bellman_ford(int s, int n, int m) {
    memset(d, INF, sizeof(d));
    d[s] = 0;
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
        bool updated = false;
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            int u = edges[j].u, v = edges[j].v, w = edges[j].w;
            if (d[u] != INF && d[u] + w < d[v]) {
                d[v] = d[u] + w;
                updated = true;
            }
        }
        if (!updated)
            break;
    }
}

时间复杂度

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(nm)，其中n为图中顶点数，m为边数。

总结

贝尔曼-福特算法是一种计算单源最短路径的算法，可以处理负权边和有向图的情况。但其时间复杂度较高，因此在实际应用中不如Dijkstra算法。同时，对于存在负权回路的图，该算法无法求得最短路径（因为不存在最短路径）。