马尔可夫矩阵的 C++ 程序

介绍

马尔可夫矩阵（Markov matrix）又称转移矩阵（transition matrix），是一种描述随机过程的数学工具。在马尔可夫过程中，任意指定一个状态，只有当前状态与前一状态有关，而与之前的状态无关。因此，我们可以利用马尔可夫矩阵来描述某个系统的状态随时间的演变情况。

本文将介绍如何用 C++ 写马尔可夫矩阵的程序，并提供代码示例。

马尔可夫矩阵的定义

假设当前系统有 $n$ 种可能的状态 $S_1, S_2, \cdots, S_n$，每次转移之后，系统有 $m$ 种可能的状态 $S_1', S_2', \cdots, S_m'$，那么马尔可夫矩阵 $A$ 就是一个 $n \times m$ 的矩阵，其中 $A_{i,j}$ 表示系统从 $S_i$ 转移到 $S_j'$ 的概率。

显然，由于每次转移后系统只会处于一种状态，所以每个矩阵中的每一行元素之和必须等于 $1$。也就是说，对于任意 $i$，必须满足以下等式：

$$ \sum_{j=1}^{m} A_{i,j} = 1 $$

C++ 实现

下面是用 C++ 实现马尔可夫矩阵的程序示例：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

class MarkovMatrix {

public:
    MarkovMatrix(int n, int m) {
        rows = n;
        cols = m;
        matrix.resize(rows);
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            matrix[i].resize(cols);
        }
    }

    void setElement(int i, int j, double val) {
        matrix[i][j] = val;
    }

    double getElement(int i, int j) const {
        return matrix[i][j];
    }

    void print() const {
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            for (int j = 0; j < cols; j++) {
                cout << matrix[i][j] << "\t";
            }
            cout << endl;
        }
    }

private:
    int rows;
    int cols;
    vector<vector<double>> matrix;

};

int main() {

    // 创建一个 3x3 的马尔可夫矩阵
    MarkovMatrix m(3, 3);

    // 设置矩阵元素
    m.setElement(0, 0, 0.2);
    m.setElement(0, 1, 0.6);
    m.setElement(0, 2, 0.2);
    m.setElement(1, 0, 0.4);
    m.setElement(1, 1, 0.0);
    m.setElement(1, 2, 0.6);
    m.setElement(2, 0, 0.3);
    m.setElement(2, 1, 0.7);
    m.setElement(2, 2, 0.0);

    // 打印矩阵
    m.print();

    return 0;
}

实现解析

上面的代码中，我们定义了一个 MarkovMatrix 类，该类包含了以下成员函数：

1. 构造函数：创建一个 $n \times m$ 的矩阵，并初始化为 $0$。

   MarkovMatrix(int n, int m) {
       rows = n;
       cols = m;
       matrix.resize(rows);
       for (int i = 0; i < rows; i++) {
           matrix[i].resize(cols);
       }
   }
   

2. 设置元素：将第 $i$ 行第 $j$ 列的元素设置为 $val$。

   void setElement(int i, int j, double val) {
       matrix[i][j] = val;
   }
   

3. 获取元素：获取第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

   double getElement(int i, int j) const {
       return matrix[i][j];
   }
   

4. 打印矩阵：将矩阵打印输出。

   void print() const {
       for (int i = 0; i < rows; i++) {
           for (int j = 0; j < cols; j++) {
               cout << matrix[i][j] << "\t";
           }
           cout << endl;
       }
   }
   

在 main 函数中，我们首先创建了一个 $3 \times 3$ 的矩阵，然后调用 setElement 函数设置矩阵元素，最后调用 print 函数将矩阵打印输出。

总结

本文介绍了如何用 C++ 写马尔可夫矩阵的程序，并提供了代码示例。马尔可夫矩阵是描述随机过程的重要工具，在机器学习、自然语言处理等领域都有广泛应用。