无向无权图中的最短周期

在图论中，一个无向无权图是指没有边权值的无向图。而最短周期表示图的一个环中边权值之和最小的那个环。在这篇文章中，我们将介绍无向无权图中最短周期的概念，以及如何在程序中实现查找无向无权图中的最短周期。

概念

对于一个无向无权图，如果存在一个环，使得这个环中的边权值之和最小，那么这个环就是最短周期。

如图所示的是一个无向无权图，其中存在两个环，其中一个长为6，另一个长为8。而最短周期是长为6的那个环。

      (1)--(2)--(3)
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      (4)--(5)--(6)
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           (7)--(8)

实现

要查找一个无向无权图中的最短周期，可以使用深度优先搜索（DFS）实现。具体方法如下：

1. 从图中的任意一个顶点开始，对图进行深度优先搜索，得到所有的环；
2. 对于每个环，计算环中边权之和，找到最小的那个。

深度优先搜索可以使用递归实现，代码如下：

def dfs(graph, u, visited, parent, cycle_len, cycle_min_len, cycle_sum):
    visited[u] = True
    for v in graph[u]:
        if not visited[v]:
            parent[v] = u
            dfs(graph, v, visited, parent, cycle_len + 1, cycle_min_len, cycle_sum)
        elif v != parent[u]:
            cycle_len_v = cycle_len - cycle_len[v] + 1
            if cycle_len_v < cycle_min_len[0]:
                cycle_min_len[0] = cycle_len_v
                cycle_sum[0] = cycle_sum[v] + 1
            elif cycle_len_v == cycle_min_len[0]:
                cycle_sum[0] += cycle_sum[v] + 1
    visited[u] = False
    cycle_len -= 1

其中，graph代表无向无权图，u代表当前顶点，visited表示是否已经访问过该顶点，parent代表当前顶点的父节点，cycle_len表示当前环的长度，cycle_min_len表示最短周期的长度，cycle_sum表示所有最短周期的个数。

在调用dfs函数时，需要遍历所有顶点，找到以每个顶点为起点的最短周期：

def shortest_cycle(graph):
    cycle_min_len = [float('inf')]
    cycle_sum = [0]
    for u in range(len(graph)):
        dfs(graph, u, [False] * len(graph), [-1] * len(graph), 0, cycle_min_len, cycle_sum)
    if cycle_min_len[0] == float('inf'):
        return -1
    else:
        return cycle_sum[0] // 2

当最短周期的长度为无穷时，表示该图没有环；如果有最短周期，那么最短周期的长度就是cycle_min_len[0]，而所有最短周期的数量为cycle_sum[0]（因为无向图，所以最短周期的数量为实际数量的一半）。

总结

无向无权图中的最短周期是一种很有意义的概念。通过深度优先搜索，我们可以在程序中实现查找最短周期。此外，在实际应用中，我们可能还需要考虑如何处理图中存在多个最短周期的情况，以及如何在图中查找到最短周期。