算法分析-问题8

简介

在算法领域中，绩效分析十分重要。最重要的两个因素是时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度用于衡量算法在处理输入数据的时间开销，通常用大O记号表示，空间复杂度用于衡量算法在处理输入数据时需要的存储空间，通常用字节或位数表示。

在本文中，我们将讨论算法问题8，并且分析该算法的时间复杂度和空间复杂度。

问题描述

这个问题是要求给定一个整数k和一个排好序的数组nums，找到第k个缺失的正整数。如果不存在，则返回-1。

例如，对于数组nums=[2, 3, 4, 7, 11]和k=5，第5个缺失的正整数是9。

算法思路

我们可以使用二分查找法来解决此问题：

首先定义一个子函数count_missing，该函数将返回给定数字nums中缺失的数字数量。这样，我们将查找k在count_missing范围内的第一个数字的位置。

我们定义左边界l，右边界h，迭代执行以下步骤：

1. 在[l, h]范围内计算mid = (l + h) // 2。

2. 如果count_missing(mid) < k，则在右半边[l, h]范围内查找，即将l设置为mid + 1。

3. 如果count_missing(mid) >= k，则在左半边[l, h]范围内查找，即将h设置为mid。

最终，当l == h时，返回l。

代码实现

def count_missing(nums, mid):
    return nums[mid] - nums[0] - mid

def find_kth_missing(nums, k):
    n = len(nums)
    if count_missing(nums, n-1) < k:
        return -1
    
    left, right = 0, n-1
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if count_missing(nums, mid) < k:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    return nums[left-1] + k - count_missing(nums, left-1)

时间复杂度

根据算法的二分查找性质，我们可以将数组一次拆分为两个部分，故时间复杂度为O(log n)。

空间复杂度

我们使用了几个整数变量和一个count_missing函数，它们的空间开销是固定的。因此空间复杂度为O(1)。

结论

综上所述，我们可以解决算法问题8的查找第k个缺失的正整数，并在O(log n)时间复杂度和O(1)空间复杂度的约束下完成。