门 | GATE-CS-2000 |第 49 题

这是 GATE-CS-2000 的第 49 题，做一些相应的介绍。

题目描述

给定一个图，要求写一个程序找出其中的所有强连通分量。

解题思路

这道题可以使用 Tarjan 算法来解决。基本思路是进行一次 DFS 然后用栈来保存遍历过的节点，之后判断节点是否在当前强连通分量中。

以下是基本步骤：

1. 对于每个节点，初始化它的索引和“低链接值”为一样的，同时将它标记为“还没访问过”。
2. 对于起点 u，递归搜索其所有来自起点 u 或之前的 SCC 的下一个点 v。
3. 根据 v 的访问状态，它可能有不同的两个“连接”值：

• 正常连接：从 u 可以到达 v。
• 退回连接：从 u 可以到达一些祖先节点 w，而 w 可以到达 v。

4. 每当一个节点 v 退回时，检查它是否连接到一个更早的节点，如果是则更新它的“低链接值”。使用当前栈顶的值更新 v 的“低链接值”时，这将有助于找到退回连接并区分其类型。
5. 当 v 的“低链接值”等于其索引时，从栈中弹出所有元素，直到 v。这些元素表示一个强连通分量。

除了 Tarjan 算法以外，还可以使用 Kosaraju 算法、Gabow 算法等等。

代码实现

以下是 Python 代码实现：

def tarjanSCC(graph):
    stack = []
    visited = set()
    index = {}
    lowlink = {}
    ret = []

    def traverse(v):
        index[v] = len(stack)
        lowlink[v] = len(stack)
        visited.add(v)
        stack.append(v)

        for n in graph[v]:
            if n not in index:
                traverse(n)
                lowlink[v] = min(lowlink[v], lowlink[n])
            elif n in visited:
                lowlink[v] = min(lowlink[v], index[n])

        if lowlink[v] == index[v]:
            temp = []
            while True:
                w = stack.pop()
                visited.remove(w)
                temp.append(w)
                if w == v:
                    break
            ret.append(temp)

    for node in graph:
        if node not in index:
            traverse(node)

    return ret

总结

这道题考察了 DFS、栈和图的相关知识。强连通分量是图论中的一个重要概念，在实际应用中也有很大的作用。虽然算法看起来比较复杂，但实际上在熟悉了原理和代码实现之后会变得容易很多。