题目介绍

本题是2013年清华大学的 CS 课程的一道考试题目，题目编号为 22，题目名称是“门”。

题目描述

假设有 $n$ 个门，每个门可以是打开或关闭状态。初始状态为全部关闭，现在对于每一扇门，我们可以执行一次开门或者关门操作。但是，我们并不知道每扇门的初始状态。我们只能通过将第 $k$ 扇门操作两次来得知它的初始状态，并且每次操作需要花费 $1$ 的代价，即每扇门最多操作两次。现在，你需要编写一个程序来求出，怎样才能使得所有门状态全部打开，需要的最小代价是多少。

输入说明

输入的第一行包括一个整数 $n$，表示有 $n$ 扇门。

输出说明

输出一个整数，表示所有门状态全部打开需要的最小代价。

样例输入

4

样例输出

4

题目分析

从题目描述中可以看出，本题是一道搜索问题。搜索的状态由门的状态和已经操作的门的编号组成。对于每一个状态，可以有两个操作：开门和关门。开门和关门的操作都要记录下来，因为不能超过两次。对于已经开启的门，直接跳过；对于已经关闭的门，需要通过操作才能打开。注意到所有门状态全部打开之后，操作的序列和操作的结果都与每一个门的状态的初始状态无关，因此可以从一个门出发，搜索所有的状态。使用广度优先搜索可以避免深度优先搜索可能造成的堆栈溢出问题。

代码实现

from collections import deque

def solve(n):
    """
    搜索所有的状态
    """
    init_state = (tuple([False] * n), -1, -1, 0)  # 初始化的状态: 全部关闭、之前的状态编号、之前之前的编号、代价为零
    queue = deque([(init_state, 0)])  # 队列
    visited = set(init_state)  # 已经访问过的状态
    while queue:
        state, cost = queue.popleft()  # 取出一个状态
        if all(state[0]):  # 如果所有的门都已经打开，则返回代价
            return cost
        for i in range(n):  # 对于每一个门
            if state[1] == i or state[2] == i:  # 绕回来，不能再次操作
                continue
            new_state = list(state[0])
            if not new_state[i]:  # 如果当前门是关闭的，则通过操作打开
                new_state[i] = True
                queue.append(((tuple(new_state), i, state[1], cost + 1), cost + 1))
                visited.add((tuple(new_state), i, state[1]))
            else:  # 如果当前门是打开的，则直接跳过
                continue
    return -1  # 无解

上面的代码使用 Python 语言实现广度优先搜索。在搜索的过程中，使用了一个队列来保存待扩展的状态，使用了一个集合来保存已经扩展过的状态。对于每一个状态，首先判断是否已经满足条件，如果已经满足条件，则返回代价；否则，对于每一个门，如果门是关闭的，则通过开门操作得到一个新的状态，并将这个新的状态加入到队列和集合中。如果门是打开的，则直接跳过。在这个过程中，记录了最近操作和之前的操作的门的编号，以便判断是否需要绕回来，不能再次操作。如果队列为空，则说明无解。注意到本题的搜索空间非常庞大，因此需要用一个哈希表来保存状态，以减小搜索的时间复杂度。