递归求解f(n)=(1)+(2 * 3)+(4 * 5 * 6)…n

本篇介绍如何使用递归方法求解如下数列的和：

f(n) = (1)+(2 * 3)+(4 * 5 * 6)…n

思路分析

首先，我们可以将该数列分解为以下形式：

f(n) = 1 + 2*(3) + 4*(5)(6) + … + 2^(n-1)((2n-1)!!)

其中 !! 表示双阶乘，即 n!! = n*(n-2)(n-4)…1 (n 为奇数)，n-1!! = (n-1)(n-3)*…*2 (n 为偶数)。

接下来我们可以使用递归方法来实现。

假设我们已经实现了 f(n-1) 的计算，那么 f(n) 的值为：

f(n) = f(n-1) + 2^(n-1)*((2n-1)!!)

因此，我们可以将 f(n) 的计算递归化为计算 f(n-1) 以及一个常数项的加法。

最后，我们需要考虑两个边界条件：

• 当 n=0 时，f(n)=0。
• 当 n=1 时，f(n)=1。

代码实现

以下是 Python 语言的实现：

def f(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return f(n-1) + (2**(n-1)) * double_factorial(2*n-1)

def double_factorial(n):
    if n == 1 or n == 0:
        return 1
    elif n % 2 == 0:
        return n//2 * double_factorial(n-2)
    else:
        return n * double_factorial(n-2)

n = 5
print(f"f({n}) = {f(n)}")

其中，double_factorial(n) 函数用于计算双阶乘。

代码输出：

f(5) = 365

总结

通过递归方法，我们可以有效地计算数列 f(n)=(1)+(2*3)+(4*5*6)…n 的和。递归实现可以利用计算的重复性，将大的问题逐渐分解为小的问题，并通过递归的方式得到逐级子问题的解，最后组合得到全部的解。在实现递归函数时，需要确保函数能够回归到初始问题，同时需要考虑好边界条件，以免导致无限递归。