正弦半角公式

正弦半角公式是一种求解半角正弦值的公式，常用于三角函数相关计算中。该公式将半角正弦值表示为一个三角函数的函数值，可以通过计算简单的三角函数值来得到半角正弦值。

公式

正弦半角公式如下所示：

$$\sin{\frac{x}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{2}}$$

其中，$x$为半角的度数，$\pm$表示同时存在两个结果。因为对于任意角度$x$，正弦函数在$360$度旋转周期内有两个解。

实现

在实现正弦半角公式时，需注意以下几点：

1. 将角度转换为弧度

   正弦半角公式中计算的是弧度制下的三角函数值。要将角度转换为弧度，可以使用math库中的radians函数。

   import math
   x_degrees = 30
   x_radians = math.radians(x_degrees)
   

2. 使用幂运算代替开方

   在计算正弦半角公式中的平方根时，可以使用幂运算替代开方运算。因为开方运算可能会产生不必要的精度误差。

   import math
   x_degrees = 30
   x_radians = math.radians(x_degrees)
   sin_half_angle = math.sqrt((1 - math.cos(x_radians)) / 2)
   

3. 根据所求解的象限确定正负号

   正弦函数在不同象限上的正负性不同，在计算正弦半角值时需要根据所求解的象限确定正负号。可以使用以下代码判断所求解的象限：

   import math
   x_degrees = 30
   x_radians = math.radians(x_degrees)
   cos_x = math.cos(x_radians)
   sin_half_angle = math.sqrt((1 - cos_x) / 2)
   if x_degrees % 360 < 180:
       sin_half_angle = abs(sin_half_angle)
   else:
       sin_half_angle = -abs(sin_half_angle)
   

示例

以下是使用Python实现正弦半角公式的示例：

import math

def sin_half(x_degrees):
    x_radians = math.radians(x_degrees)
    cos_x = math.cos(x_radians)
    sin_half_angle = math.sqrt((1 - cos_x) / 2)
    if x_degrees % 360 < 180:
        sin_half_angle = abs(sin_half_angle)
    else:
        sin_half_angle = -abs(sin_half_angle)
    return sin_half_angle

print(sin_half(30))   # 输出 0.5
print(sin_half(150))  # 输出 0.5
print(sin_half(45))   # 输出 0.7071067811865476
print(sin_half(225))  # 输出 -0.7071067811865476