找到给定步骤的 Alpha 分数（使用 BST）

二叉排序树（BST）是一种常见的数据结构。这种数据结构具有自平衡的作用，可以快速地查找和插入值，因此在实际应用中非常实用。

本文将介绍如何使用BST查找给定步骤的Alpha分数。

Alpha分数的定义

Alpha分数是指一个实数序列 $a_1,a_2,a_3,…$ 满足如下条件：

1. 所有的 $a_i$ 都是正实数。
2. 对于任意一个整数 $n\geq2$，都存在一个唯一的有理数 $\alpha_n$，满足 $\alpha_n\in(0,1)$，且 $$a_1=\alpha_n,a_2=\alpha_n^2,a_3=\alpha_n^3,…,a_n=\alpha_n^n$$
3. $a_1 < a_2 < a_3 < \cdots < a_n$

解题思路

问题的输入是一个整数n和一个步骤k，表示考虑了n个数之后，需要找到第k个数。我们可以根据定义，先求出$\alpha_n$，再计算$a_k$。

如何求$\alpha_n$呢？我们可以假设 $\alpha_n=\frac{p}{q}$，其中p、q是正整数，且p、q互质。

根据定义，有： $$\frac{p}{q}\in(0,1)$$ 并且 $$\frac{p^k}{q^k}<\frac{p^{k+1}}{q^{k+1}}$$ 将$p,k$代入后可得： $$\frac{p}{q}<\sqrt[k]{\frac{p^{k+1}}{q^{k+1}}}$$ 移项得： $$\frac{p^{k+1}}{q^{k+1}}<(\frac{p}{q})^{k+1}$$ 两边同时乘以 $\frac{p}{q}$，得到 $$\frac{p^{k+2}}{q^{k+2}}<(\frac{p}{q})^{k+2}$$ 以此类推，可以得到 $$\frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}<(\frac{p}{q})^{n-1}$$ 将 $\alpha_n=\frac{p}{q}$ 代入，得到 $$a_1^{n-1}<a_n<\frac{a_1^n}{(\alpha_n)^{n-1}}$$ 其中 $a_1=\alpha_n=\frac{p}{q}$。

因此，我们可以使用BST，在插入元素的同时，计算出 $\alpha_i（i>n）$，并将它们插入到BST中。然后，找到第k个数所对应的节点，返回该节点的值即可。

代码实现

# Python 实现

class TreeNode:
    def __init__(self, val, alpha):
        self.val = val
        self.alpha = alpha
        self.left = None
        self.right = None

class BST:
    def __init__(self):
        self.root = None

    def insert(self, val):
        alpha = None
        if not self.root:
            self.root = TreeNode(val, 0)
            return
        cur = self.root
        while True:
            if val < cur.val:
                if cur.left:
                    cur = cur.left
                else:
                    alpha = cur.alpha / 2
                    cur.left = TreeNode(val, alpha)
                    return
            else:
                if cur.right:
                    cur = cur.right
                else:
                    alpha = cur.alpha + (1 - cur.alpha) / 2
                    cur.right = TreeNode(val, alpha)
                    return

    def find_kth(self, k):
        cur = self.root
        while cur:
            if k == cur.alpha + 1:
                return cur.val
            elif k < cur.alpha + 1:
                cur = cur.left
            else:
                k -= cur.alpha + 1
                cur = cur.right
        return None

def alpha_sequence(n, k):
    bst = BST()
    for i in range(1, n + 1):
        bst.insert(i ** i)
    return bst.find_kth(k)

总结

本文介绍了如何使用BST查找给定步骤的Alpha分数。我们可以先计算出$\alpha_n$，然后将每个$a_i$作为BST的一个节点插入到树中。在查找第k个节点时，根据BST的性质，可以快速进行查找。