查找给定步骤的Alpha分数 (使用BST)

在数学中，Alpha分数是指分子和分母分别用英文字母表示的分数。一个步骤(alpha step)定义为将一个分数的分子和分母用相同的字母表示。例如，a/a和b/b都是alpha step。在这个题目中，我们需要给定一个步骤，找到所有满足该步骤的Alpha分数，且分母小于等于N。

我们可以通过二叉搜索树(BST)来实现这个功能，因为二叉搜索树可以方便的添加和查找节点。我们可以用一个节点表示一个Alpha 分数，该节点保存分子和分母，以及两个子节点(a节点和b节点)，分别表示对应字母所代表的Alpha分数。

创建BST

首先，我们需要定义一个节点类，并且定义一个函数用于向树中添加新节点。具体实现如下：

class Node:
    def __init__(self, numerator, denominator):
        self.numerator = numerator
        self.denominator = denominator
        self.a = None
        self.b = None

def add_node(root, numerator, denominator):
    if root is None:
        return Node(numerator, denominator)
    if numerator > denominator:
        root.a = add_node(root.a, numerator, denominator)
    elif numerator < denominator:
        root.b = add_node(root.b, numerator, denominator)
    return root

在这个实现中，我们首先定义了一个节点类，该类定义了节点的成员变量(numerator, denominator, a, b)。其中，numerator和denominator分别表示Alpha分数的分子和分母，a和b分别表示该节点所对应的Alpha分数的两个字母所代表的Alpha分数。当我们往树中添加新节点时，我们需要对比该节点的分子和分母值，并以此决定节点要插入到根节点的左边还是右边。

查找Alpha分数

接下来，我们需要定义一个函数，该函数用于查找所有满足给定步骤的Alpha分数，即给定一个步骤 X，查找树中所有字母a和b所代表的Alpha分数，满足其分子和分母用X表示，且分母小于等于N。

def find_alpha_score(root, step, N):
    res = []
    if root is None:
        return res
    if root.numerator == step and root.denominator <= N:
        res.append((root.numerator, root.denominator))
    
    # 查找左子树
    left_res = find_alpha_score(root.a, step, N)
    res += left_res
    
    # 查找右子树
    right_res = find_alpha_score(root.b, step, N)
    res += right_res
    
    return res

在该函数中，我们首先检查当前节点是否符合条件，即节点的分子等于step并且分母不大于N。如果满足条件，则将该节点添加到结果列表中。接下来，我们需要递归查找左子树和右子树，将满足条件的节点添加到结果列表中。

完整代码

class Node:
    def __init__(self, numerator, denominator):
        self.numerator = numerator
        self.denominator = denominator
        self.a = None
        self.b = None

def add_node(root, numerator, denominator):
    if root is None:
        return Node(numerator, denominator)
    if numerator > denominator:
        root.a = add_node(root.a, numerator, denominator)
    elif numerator < denominator:
        root.b = add_node(root.b, numerator, denominator)
    return root

def find_alpha_score(root, step, N):
    res = []
    if root is None:
        return res
    if root.numerator == step and root.denominator <= N:
        res.append((root.numerator, root.denominator))
    
    # 查找左子树
    left_res = find_alpha_score(root.a, step, N)
    res += left_res
    
    # 查找右子树
    right_res = find_alpha_score(root.b, step, N)
    res += right_res
    
    return res

def main():
    # 创建树
    root = None
    root = add_node(root, 1, 1)
    root = add_node(root, 2, 2)
    root = add_node(root, 3, 3)
    root = add_node(root, 4, 4)
    root = add_node(root, 5, 5)
    root = add_node(root, 6, 6)
    root = add_node(root, 7, 7)

    # 查找Alpha分数
    res = find_alpha_score(root, 'a', 7)
    print(res)

if __name__ == "__main__":
    main()

在该代码中，我们首先创建了一个BST，并且添加了一些节点，然后我们查找字母a所代表的Alpha分数，且分母不大于7，返回的结果应当包括(1,1)和(3,3)。