计算选择N对不同颜色的糖果的方式(动态编程+位掩码)

简介

本篇介绍如何使用动态编程和位掩码来计算选择N对不同颜色的糖果的方式。该算法的时间复杂度为O(N^2)，比其他暴力算法快很多。

动态编程

动态编程是一种优化算法，它主要用于解决重叠的子问题和递归问题。其基本思想是在计算一个问题的解时，把这个问题分解成更小的子问题，然后将子问题的解作为基础，依次逐步推导出整个问题的解。在这个计算过程中，会将已经计算并保存了的子问题的解记录在表格中，以备下次需要时使用。

位掩码

位掩码是一种使用位运算的技术，在计算机科学中经常被使用。其基本思想是将一个二进制位的值作为“开关”控制某些功能的状态，使得操作更加高效和便捷。

算法流程

1. 初始化动态规划表格dp[N+1][2^C]，其中dp[i][j]表示前i对糖果，组成“开关”状态为j时的方案数。
2. 对于每一对糖果i和颜色c，判断糖果i是否和糖果i-1颜色相同。
3. 如果糖果i颜色和糖果i-1相同，则更新动态规划表格，方法如下：
   • 对于组成“开关”状态为j的方案数dp[i][j]，如果第c位是0，则表示当前糖果未选中，方案数不变；如果第c位是1，则表示当前糖果已选中，方案数加上dp[i-1][j]。
   • 更新后的dp[i][j]为dp[i][j] + dp[i-1][j]。
4. 如果糖果i颜色和糖果i-1不同，则更新动态规划表格，方法如下：
   • 对于组成“开关”状态为j的方案数dp[i][j]，如果第c位是1，则表示前一对糖果的颜色为c，已选中，无法再选，方案数不变；如果第c位是0，则表示前一对糖果的颜色不为c，可以选或不选，方案数等于dp[i-1][j^(1<<c)]。
   • 更新后的dp[i][j]为dp[i][j] + dp[i-1][j^(1<<c)]。
5. 最后得到的dp[N][(1<<C)-1]即为选择N对不同颜色的糖果的方式数。

代码示例

const int N = 20, C = 20;
int dp[N+1][1<<C];

int countWays(int n, int m, vector<int>& c) {
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0][(1<<m)-1] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (i > 1 && c[i-2] == j) {
                for (int k = 0; k < (1<<m); k++) {
                    if (!(k & (1<<j))) continue;
                    dp[i][k] += dp[i-1][k];
                }
            } else {
                for (int k = 0; k < (1<<m); k++) {
                    if (k & (1<<j)) dp[i][k] += dp[i-1][k^(1<<j)];
                }
            }
        }
    }
    return dp[n][(1<<m)-1];
}

总结

本篇介绍了使用动态编程和位掩码来计算选择N对不同颜色的糖果的方式的实现方法，时间复杂度为O(N^2)，可以较快地得到结果。