最长子序列问题

最长子序列（LCS）是一种经典的计算机科学问题，求解两个序列（通常是字符串）之间最长的公共子序列的长度。

本题是在LCS问题的基础上，对数组的第一个元素进行增加，第二个元素进行减少，求数组的最长子序列。

解法

在LCS问题中，通常采用动态规划求解。对于本题，同样可以采用动态规划解决。

假设有两个数组A和B，分别表示原始数组和变换后的数组。令dp[i][j]表示A中前i个元素和B中前j个元素的最长公共子序列长度。

则有以下状态转移方程：

    if (A[i] == B[j]) {
        dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
    } else {
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
    }

其中max()函数表示取两个数的最大值。

最后，dp[m][n]即为最长公共子序列长度，其中m和n分别为数组A和B的长度。

代码实现

以下为C++代码示例：

int longest_common_sequence(vector<int>& A, vector<int>& B) {
    int m = A.size(), n = B.size();
    vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0));
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (A[i-1] == B[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

int longest_array_transformation(vector<pair<int, int>>& arr) {
    vector<int> A, B;
    for (auto& p : arr) {
        A.push_back(p.first);
        B.push_back(p.second);
    }
    return longest_common_sequence(A, B);
}

其中，longest_array_transformation()函数传入一个pair<int, int>类型的数组，返回数组变换后的最大子序列长度。

时间复杂度

该算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为原始数组的长度。该算法使用了动态规划技术，因此空间复杂度也为O(n^2)。